Номер 10, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а вершина $C$ — по другую. Докажите, что точки пересечения сторон $BC$ и $AC$ и медианы $CM$ с плоскостью $\alpha$ лежат на одной прямой.

Пусть плоскость, в которой лежит треугольник ABC, будет плоскостью $ \beta $. Поскольку вершины треугольника лежат по разные стороны от плоскости $ \alpha $, плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не совпадают и пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $l$.

По условию, вершины A и C находятся по разные стороны от плоскости $ \alpha $, следовательно, отрезок AC пересекает плоскость $ \alpha $. Обозначим точку пересечения $P = AC \cap \alpha$.

Аналогично, вершины B и C находятся по разные стороны от плоскости $ \alpha $, следовательно, отрезок BC пересекает плоскость $ \alpha $. Обозначим точку пересечения $Q = BC \cap \alpha$.

Рассмотрим медиану CM. Точка M является серединой отрезка AB. Так как точки A и B лежат по одну сторону от плоскости $ \alpha $, то и всякая точка отрезка AB, включая его середину M, лежит по ту же сторону от плоскости $ \alpha $. Таким образом, точки C и M лежат по разные стороны от плоскости $ \alpha $, и, следовательно, медиана CM пересекает плоскость $ \alpha $. Обозначим точку пересечения $R = CM \cap \alpha$.

Теперь докажем, что точки P, Q и R лежат на одной прямой.

1. Точка P принадлежит прямой AC. Прямая AC целиком лежит в плоскости $ \beta $ ($AC \subset \beta$). Следовательно, точка P принадлежит плоскости $ \beta $ ($P \in \beta$). По определению, точка P также принадлежит плоскости $ \alpha $ ($P \in \alpha$). Значит, точка P лежит на линии пересечения плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $, то есть на прямой $l$.

2. Точка Q принадлежит прямой BC. Прямая BC целиком лежит в плоскости $ \beta $ ($BC \subset \beta$). Следовательно, точка Q принадлежит плоскости $ \beta $ ($Q \in \beta$). По определению, точка Q также принадлежит плоскости $ \alpha $ ($Q \in \alpha$). Значит, точка Q лежит на линии пересечения плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $, то есть на прямой $l$.

3. Точка R принадлежит прямой CM. Прямая CM целиком лежит в плоскости $ \beta $ ($CM \subset \beta$). Следовательно, точка R принадлежит плоскости $ \beta $ ($R \in \beta$). По определению, точка R также принадлежит плоскости $ \alpha $ ($R \in \alpha$). Значит, точка R лежит на линии пересечения плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $, то есть на прямой $l$.

Поскольку все три точки P, Q и R принадлежат одной и той же прямой $l$, они лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать. Точки пересечения сторон BC и AC и медианы CM с плоскостью $\alpha$ лежат на одной прямой.