Номер 17, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Постройте сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 38) плоскостью, проходящей через точку $C$ и точки $P$ и $M$, которые лежат на рёбрах $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно.

Рис. 38

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $C$, $P$ (где $P$ лежит на ребре $BB_1$) и $M$ (где $M$ лежит на ребре $A_1B_1$), будем последовательно находить линии пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

1. Соединим точки $C$ и $P$. Так как обе точки лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, отрезок $PC$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения.

2. Соединим точки $P$ и $M$. Так как точка $P$ лежит на ребре $BB_1$, а точка $M$ — на ребре $A_1B_1$, обе точки принадлежат плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Отрезок $PM$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и второй стороной сечения.

3. Теперь необходимо найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. У нас уже есть одна точка, принадлежащая этой линии — точка $M$. Для нахождения второй точки найдем точку пересечения прямой $CP$, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью $(A_1B_1C_1)$.

4. Прямая $CP$ лежит в плоскости грани $(BCC_1B_1)$. Плоскость $(A_1B_1C_1)$ пересекается с плоскостью $(BCC_1B_1)$ по прямой $B_1C_1$. Следовательно, точка пересечения прямой $CP$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ — это точка пересечения прямых $CP$ и $B_1C_1$. Для ее нахождения продлим отрезки $CP$ и $B_1C_1$ до их пересечения и обозначим полученную точку $Y$.

5. Поскольку точки $M$ и $Y$ принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости $(A_1B_1C_1)$, прямая $MY$ является их линией пересечения (следом секущей плоскости на плоскости верхнего основания). Проведем прямую $MY$. Она пересекает ребро $A_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим ее $N$. Тогда отрезок $MN$ — это сторона сечения, лежащая на верхней грани $A_1B_1C_1$.

6. Соединим точку $N$ на ребре $A_1C_1$ и точку $C$. Обе эти точки лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$. Отрезок $NC$ является последней стороной искомого сечения.

7. В результате мы получили замкнутый многоугольник — четырехугольник $CPMN$. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $CPMN$. Его вершины: заданная точка $C$, заданная точка $P$ на ребре $BB_1$, заданная точка $M$ на ребре $A_1B_1$ и построенная точка $N$ на ребре $A_1C_1$. Точка $N$ является точкой пересечения прямой $A_1C_1$ с прямой $MY$, где $Y$ — точка пересечения прямых $CP$ и $B_1C_1$.