Номер 14, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 35). Точка $M$ принадлежит ребру $A_1B_1$, точка $K$ — ребру $BB_1$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 35

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ воспользуемся методом вспомогательной плоскости. Идея состоит в том, чтобы заключить прямую $MK$ в некоторую плоскость и затем найти линию пересечения этой плоскости с плоскостью $ABC$. Искомая точка будет лежать на этой линии.

Построение и обоснование

1. Найдём плоскость, в которой лежит прямая $MK$. Точка $M$ принадлежит ребру $A_1B_1$, которое является частью плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Точка $K$ принадлежит ребру $BB_1$, которое также является частью плоскости $ABB_1A_1$. Поскольку обе точки, $M$ и $K$, лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$, то и вся прямая $MK$ целиком лежит в этой плоскости. Обозначим эту плоскость $(ABB_1A_1)$.

2. Теперь найдём линию пересечения вспомогательной плоскости $(ABB_1A_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Эти две плоскости имеют общие точки $A$ и $B$, следовательно, они пересекаются по прямой $AB$.

3. Обозначим искомую точку пересечения прямой $MK$ и плоскости $(ABC)$ как $P$. По определению, точка $P$ должна удовлетворять двум условиям: $P \in MK$ и $P \in (ABC)$.

4. Из того, что $P \in MK$ и $MK \subset (ABB_1A_1)$, следует, что $P \in (ABB_1A_1)$. Таким образом, точка $P$ принадлежит одновременно двум плоскостям: $(ABC)$ и $(ABB_1A_1)$. Это означает, что точка $P$ должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $AB$.

5. Мы пришли к выводу, что искомая точка $P$ является общей точкой для двух прямых: $MK$ и $AB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ABB_1A_1)$. Они не параллельны, так как если бы $MK || AB$, то $MK$ должна была бы быть параллельна и $A_1B_1$ (поскольку $AB || A_1B_1$ в призме), но прямая $MK$ пересекает $A_1B_1$ в точке $M$. Следовательно, прямые $MK$ и $AB$ пересекаются в одной единственной точке.

6. Алгоритм построения: Проводим прямую через точки $M$ и $K$ и прямую через точки $A$ и $B$. Точка, в которой эти две прямые пересекаются, и является искомой точкой пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $AB$.