Номер 21, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. На одной из двух пересекающихся прямых выбрали точку и через неё провели прямую, параллельную второй прямой. Докажите, что эти три прямые лежат в одной плоскости.

Обозначим данные пересекающиеся прямые как $a$ и $b$. Пусть точка их пересечения — $O$. По условию, на одной из прямых, например на прямой $a$, выбрана точка $M$. Через эту точку проведена третья прямая $c$, параллельная второй прямой $b$ ($c \parallel b$). Требуется доказать, что прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Так как прямые $a$ и $b$ пересекаются, согласно аксиоме стереометрии, через них можно провести плоскость, и притом только одну. Назовём эту плоскость $\alpha$. Таким образом, обе прямые, $a$ и $b$, целиком лежат в плоскости $\alpha$.
2. Рассмотрим точку $M$, которая по условию лежит на прямой $a$ ($M \in a$). Поскольку вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ также принадлежит этой плоскости ($M \in \alpha$).
3. По условию, прямая $c$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $b$. Рассмотрим два возможных случая для положения точки $M$.
   • Случай 1: Точка $M$ совпадает с точкой пересечения прямых $O$. В этом случае прямая $c$ проходит через точку $O$ (которая лежит на прямой $b$) и при этом параллельна $b$. Это возможно только если прямая $c$ совпадает с прямой $b$. Тогда речь идёт всего о двух пересекающихся прямых $a$ и $b$, которые, как было установлено в пункте 1, лежат в одной плоскости.
   • Случай 2: Точка $M$ не совпадает с точкой пересечения $O$. В этом случае точка $M$ не принадлежит прямой $b$. По определению, две параллельные прямые ($b$ и $c$) задают единственную плоскость. Назовём эту плоскость $\beta$. Обе прямые, $b$ и $c$, лежат в плоскости $\beta$.
4. Теперь сравним плоскости $\alpha$ и $\beta$ для второго, основного, случая.
   • Плоскость $\alpha$ содержит прямую $b$ и точку $M$ (так как $M \in a$ и $a \subset \alpha$).
   • Плоскость $\beta$ также содержит прямую $b$ и точку $M$ (так как $b \subset \beta$ и $M \in c$, а $c \subset \beta$).
   Согласно теореме о единственности плоскости, через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Так как и $\alpha$, и $\beta$ проходят через прямую $b$ и точку $M$ (не лежащую на $b$), эти плоскости должны совпадать.
5. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ — это одна и та же плоскость, и мы знаем, что прямые $a$ и $b$ лежат в $\alpha$, а прямая $c$ лежит в $\beta$, то получается, что все три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной и той же плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Две пересекающиеся прямые ($a, b$) определяют плоскость $\alpha$. Точка $M$ на прямой $a$ также лежит в этой плоскости. Прямая $c$, параллельная $b$ и проходящая через $M$, вместе с прямой $b$ определяет плоскость $\beta$. Так как обе плоскости ($\alpha$ и $\beta$) проходят через прямую $b$ и точку $M$, не лежащую на ней, эти плоскости совпадают. Следовательно, все три прямые лежат в одной плоскости.