Номер 18, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 39) плоскостью, проходящей через вершины $B_1$ и $C$ и точку $K$ ребра $DD_1$.

Рис. 39

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $B_1$, $C$ и точку $K$ ребра $DD_1$, выполним следующие действия:

1. Соединение точек, лежащих в одной грани. Поскольку точки $B_1$ и $C$ лежат в плоскости одной грани ($BCC_1B_1$), соединяем их отрезком. Отрезок $B_1C$ — сторона искомого сечения. Аналогично, точки $C$ и $K$ лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$. Соединяем их отрезком $CK$, который также является стороной сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости верхнего основания. След плоскости — это линия ее пересечения с другой плоскостью. Найдем след секущей плоскости $(B_1CK)$ на плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Точка $B_1$ принадлежит обеим плоскостям, а значит, лежит на следе. Для нахождения второй точки следа продлим прямую $CK$ (лежащую в секущей плоскости) до пересечения с прямой $C_1D_1$ (лежащей в плоскости верхнего основания). Обе эти прямые лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$ и, как правило, не параллельны. Обозначим точку их пересечения буквой $M$. Точка $M$ принадлежит и секущей плоскости (так как лежит на прямой $CK$), и плоскости верхнего основания (так как лежит на прямой $C_1D_1$), следовательно, она также лежит на следе. Таким образом, прямая $B_1M$ — это след секущей плоскости на плоскости верхнего основания.

3. Нахождение новой вершины сечения. Секущая плоскость пересекает грань верхнего основания по отрезку, который является частью прямой $B_1M$. Найдем точку пересечения этой прямой с ребрами верхнего основания. Прямая $B_1M$ пересекает ребро $A_1D_1$ в некоторой точке. Назовем ее $L$. Точка $L$ является четвертой вершиной сечения. Отрезок $B_1L$ — это сторона сечения, лежащая на верхней грани призмы.

4. Завершение построения. Теперь у нас есть все вершины сечения: $B_1, C, K, L$. Соединим последовательно точки $K$ и $L$. Обе они лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$ (так как $K$ лежит на ребре $DD_1$, а $L$ — на ребре $A_1D_1$), поэтому отрезок $KL$ является последней стороной сечения. В результате построений получен замкнутый четырехугольник $B_1CKL$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $B_1CKL$.