Номер 24, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. На отрезке $CD$, который не пересекает плоскость $\beta$, отметили точку $E$. Через точки $C$, $D$ и $E$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $C_1$, $D_1$ и $E_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $CE$, если $ED = 18$ см, $C_1E_1 = 16$ см, $E_1D_1 = 24$ см.

1) Докажите, что точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой.

По условию, прямые $CC_1$, $DD_1$ и $EE_1$ параллельны. Через две параллельные прямые $CC_1$ и $DD_1$ проходит единственная плоскость, назовем ее $\gamma$.

Так как точка $C$ лежит на прямой $CC_1$, а точка $D$ — на прямой $DD_1$, то обе эти точки принадлежат плоскости $\gamma$. Следовательно, вся прямая $CD$, содержащая эти точки, также лежит в плоскости $\gamma$.

По условию, точка $E$ принадлежит отрезку $CD$, а значит, точка $E$ также лежит в плоскости $\gamma$.

Прямая $EE_1$ проходит через точку $E$ плоскости $\gamma$ и параллельна прямой $CC_1$, которая также лежит в плоскости $\gamma$. Отсюда следует, что вся прямая $EE_1$ лежит в плоскости $\gamma$.

Таким образом, все три параллельные прямые $CC_1$, $DD_1$ и $EE_1$ лежат в одной плоскости $\gamma$.

Точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ являются точками пересечения этих прямых с плоскостью $\beta$. Это означает, что точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ одновременно принадлежат и плоскости $\gamma$, и плоскости $\beta$.

Линией пересечения двух различных плоскостей является прямая. Следовательно, точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на линии пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$, то есть на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Найдите отрезок $CE$, если $ED = 18$ см, $C_1E_1 = 16$ см, $E_1D_1 = 24$ см.

Как было доказано в пункте 1, прямые $CD$ и $C_1D_1$ пересекаются тремя параллельными прямыми $CC_1$, $EE_1$ и $DD_1$. В этом случае можно применить обобщенную теорему Фалеса (теорему о пропорциональных отрезках).

Согласно этой теореме, параллельные прямые отсекают на секущих прямых пропорциональные отрезки. Это означает, что отношение отрезков на прямой $CD$ равно отношению соответствующих отрезков на прямой $C_1D_1$.

Запишем это утверждение в виде пропорции:

$\frac{CE}{ED} = \frac{C_1E_1}{E_1D_1}$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи:

$ED = 18$ см

$C_1E_1 = 16$ см

$E_1D_1 = 24$ см

Получим следующее уравнение:

$\frac{CE}{18} = \frac{16}{24}$

Упростим дробь в правой части равенства, сократив ее на 8:

$\frac{16}{24} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{2}{3}$

Теперь решим получившееся уравнение:

$\frac{CE}{18} = \frac{2}{3}$

Выразим $CE$:

$CE = 18 \cdot \frac{2}{3} = \frac{18 \cdot 2}{3} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: $CE = 12$ см.