Номер 20, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, точки $C$ и $D$ — прямой $b$, причём $a \parallel b$. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися.

По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Чтобы доказать, что прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися, достаточно доказать, что они лежат в одной плоскости.

По условию задачи даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$). Согласно теореме о существовании плоскости, проходящей через две параллельные прямые, через прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$.

Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, то точки $A$ и $B$ также лежат в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$, $B \in \alpha$).

Аналогично, так как прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), а точки $C$ и $D$ принадлежат прямой $b$, то точки $C$ и $D$ также лежат в плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$, $D \in \alpha$).

Таким образом, все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

Прямая $AC$ проходит через две точки, $A$ и $C$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости), вся прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).

Точно так же, прямая $BD$ проходит через точки $B$ и $D$. Поскольку обе эти точки лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$ ($BD \subset \alpha$).

Мы получили, что обе прямые, $AC$ и $BD$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Прямые, лежащие в одной плоскости, не могут быть скрещивающимися. Они могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.

Следовательно, прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися, что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися, так как они лежат в одной плоскости, которая однозначно задается двумя параллельными прямыми $a$ и $b$.