Номер 22, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости треугольника. Точка $M$ — середина стороны $AC$. Докажите, что прямые $a$ и $BM$ — скрещивающиеся.

Для доказательства того, что прямые a и BM являются скрещивающимися, воспользуемся определением и признаком скрещивающихся прямых. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Доказательство от противного:

Предположим, что прямые a и BM не являются скрещивающимися. Это означает, что они лежат в одной плоскости (то есть они либо пересекаются, либо параллельны). Назовем эту плоскость $\beta$.

1. По условию, прямая a проходит через точку $A$. Если прямая a лежит в плоскости $\beta$, то и точка $A$ также лежит в этой плоскости ($A \in \beta$).
2. Прямая $BM$ по нашему предположению также лежит в плоскости $\beta$. Это означает, что все точки этой прямой, включая точки $B$ и $M$, лежат в плоскости $\beta$ ($B \in \beta$ и $M \in \beta$).
3. Таким образом, три точки — $A$, $B$ и $M$ — лежат в одной плоскости $\beta$.

Теперь рассмотрим расположение этих точек. $A$ и $B$ — вершины треугольника $ABC$. $M$ — середина стороны $AC$, следовательно, $BM$ — медиана треугольника. Точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой (иначе вершины $A, B, C$ лежали бы на одной прямой, что противоречит условию, что $ABC$ — треугольник).

Три точки, не лежащие на одной прямой ($A, B, M$), однозначно определяют плоскость. Все эти три точки ($A, B$ и $M$) по определению лежат в плоскости треугольника $ABC$. Обозначим плоскость треугольника $ABC$ как $\alpha$.

Следовательно, плоскость $\beta$, проходящая через точки $A, B, M$, совпадает с плоскостью $\alpha$.

Из нашего предположения следовало, что прямая a лежит в плоскости $\beta$. А поскольку плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то получается, что прямая a лежит в плоскости $\alpha$ (плоскости треугольника $ABC$).

Это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что "прямая a, не принадлежащая плоскости треугольника".

Наше первоначальное предположение о том, что прямые a и BM не являются скрещивающимися, привело к противоречию. Следовательно, это предположение неверно, и прямые a и BM являются скрещивающимися.

Доказательство по признаку скрещивающихся прямых:

Признак скрещивающихся прямых гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

1. Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$ (обозначим её $\alpha$). Прямая $BM$ полностью лежит в этой плоскости, так как обе точки $B$ и $M$ принадлежат плоскости $\alpha$.
2. Прямая a, по условию, проходит через точку $A$ (которая лежит в плоскости $\alpha$) и не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая a пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $A$.
3. Точка пересечения $A$ не принадлежит прямой $BM$. Прямая $BM$ — это медиана, и вершина $A$ не может лежать на ней (кроме случая вырожденного треугольника, что противоречит условию).

Таким образом, прямая $BM$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая a пересекает эту плоскость в точке $A$, не лежащей на прямой $BM$. По признаку скрещивающихся прямых делаем вывод, что прямые a и $BM$ скрещивающиеся.

Ответ: Доказано, что прямые a и BM — скрещивающиеся.