Страница 36 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 39) плоскостью, проходящей через вершины $B_1$ и $C$ и точку $K$ ребра $DD_1$.

Рис. 39

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $B_1$, $C$ и точку $K$ ребра $DD_1$, выполним следующие действия:

1. Соединение точек, лежащих в одной грани. Поскольку точки $B_1$ и $C$ лежат в плоскости одной грани ($BCC_1B_1$), соединяем их отрезком. Отрезок $B_1C$ — сторона искомого сечения. Аналогично, точки $C$ и $K$ лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$. Соединяем их отрезком $CK$, который также является стороной сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости верхнего основания. След плоскости — это линия ее пересечения с другой плоскостью. Найдем след секущей плоскости $(B_1CK)$ на плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Точка $B_1$ принадлежит обеим плоскостям, а значит, лежит на следе. Для нахождения второй точки следа продлим прямую $CK$ (лежащую в секущей плоскости) до пересечения с прямой $C_1D_1$ (лежащей в плоскости верхнего основания). Обе эти прямые лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$ и, как правило, не параллельны. Обозначим точку их пересечения буквой $M$. Точка $M$ принадлежит и секущей плоскости (так как лежит на прямой $CK$), и плоскости верхнего основания (так как лежит на прямой $C_1D_1$), следовательно, она также лежит на следе. Таким образом, прямая $B_1M$ — это след секущей плоскости на плоскости верхнего основания.

3. Нахождение новой вершины сечения. Секущая плоскость пересекает грань верхнего основания по отрезку, который является частью прямой $B_1M$. Найдем точку пересечения этой прямой с ребрами верхнего основания. Прямая $B_1M$ пересекает ребро $A_1D_1$ в некоторой точке. Назовем ее $L$. Точка $L$ является четвертой вершиной сечения. Отрезок $B_1L$ — это сторона сечения, лежащая на верхней грани призмы.

4. Завершение построения. Теперь у нас есть все вершины сечения: $B_1, C, K, L$. Соединим последовательно точки $K$ и $L$. Обе они лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$ (так как $K$ лежит на ребре $DD_1$, а $L$ — на ребре $A_1D_1$), поэтому отрезок $KL$ является последней стороной сечения. В результате построений получен замкнутый четырехугольник $B_1CKL$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $B_1CKL$.

Взаимное расположение

двух прямых в пространстве

19. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 40).

Укажите его рёбра:

1) параллельные ребру $DD_1$;

2) скрещивающиеся с ребром $DD_1$.

Рис. 40

1)Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $DD_1$ является боковым ребром. Все боковые рёбра куба параллельны между собой. Следовательно, ребру $DD_1$ параллельны рёбра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
Например, рёбра $DD_1$ и $AA_1$ лежат в плоскости одной грани ($ADD_1A_1$) и не пересекаются, значит, они параллельны. Аналогично, рёбра $DD_1$ и $CC_1$ параллельны, так как лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$. Ребро $BB_1$ параллельно ребру $AA_1$ (лежат в грани $ABB_1A_1$), а поскольку $AA_1$ параллельно $DD_1$, то и $BB_1$ параллельно $DD_1$ (свойство транзитивности параллельности прямых).
Ответ: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$.

2)Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, то есть не лежат в одной плоскости. Чтобы найти рёбра, скрещивающиеся с ребром $DD_1$, необходимо из всех рёбер куба исключить те, которые параллельны ребру $DD_1$ или пересекают его.

• Рёбра, параллельные $DD_1$ (из пункта 1): $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$.
• Рёбра, пересекающие $DD_1$: это рёбра, имеющие с ним общую вершину. В вершине $D$ ребро $DD_1$ пересекается с рёбрами $AD$ и $CD$. В вершине $D_1$ ребро $DD_1$ пересекается с рёбрами $A_1D_1$ и $C_1D_1$.

Все остальные рёбра куба не имеют общих точек с ребром $DD_1$ и не параллельны ему, следовательно, они являются скрещивающимися с $DD_1$. К таким рёбрам относятся рёбра оснований, не имеющие общих вершин с ребром $DD_1$: $AB$, $BC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$.
Ответ: $AB$, $BC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$.

20. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, точки $C$ и $D$ — прямой $b$, причём $a \parallel b$. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися.

По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Чтобы доказать, что прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися, достаточно доказать, что они лежат в одной плоскости.

По условию задачи даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$). Согласно теореме о существовании плоскости, проходящей через две параллельные прямые, через прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$.

Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, то точки $A$ и $B$ также лежат в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$, $B \in \alpha$).

Аналогично, так как прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), а точки $C$ и $D$ принадлежат прямой $b$, то точки $C$ и $D$ также лежат в плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$, $D \in \alpha$).

Таким образом, все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

Прямая $AC$ проходит через две точки, $A$ и $C$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости), вся прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).

Точно так же, прямая $BD$ проходит через точки $B$ и $D$. Поскольку обе эти точки лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$ ($BD \subset \alpha$).

Мы получили, что обе прямые, $AC$ и $BD$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Прямые, лежащие в одной плоскости, не могут быть скрещивающимися. Они могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.

Следовательно, прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися, что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $AC$ и $BD$ не являются скрещивающимися, так как они лежат в одной плоскости, которая однозначно задается двумя параллельными прямыми $a$ и $b$.

21. На одной из двух пересекающихся прямых выбрали точку и через неё провели прямую, параллельную второй прямой. Докажите, что эти три прямые лежат в одной плоскости.

Обозначим данные пересекающиеся прямые как $a$ и $b$. Пусть точка их пересечения — $O$. По условию, на одной из прямых, например на прямой $a$, выбрана точка $M$. Через эту точку проведена третья прямая $c$, параллельная второй прямой $b$ ($c \parallel b$). Требуется доказать, что прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Так как прямые $a$ и $b$ пересекаются, согласно аксиоме стереометрии, через них можно провести плоскость, и притом только одну. Назовём эту плоскость $\alpha$. Таким образом, обе прямые, $a$ и $b$, целиком лежат в плоскости $\alpha$.
2. Рассмотрим точку $M$, которая по условию лежит на прямой $a$ ($M \in a$). Поскольку вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ также принадлежит этой плоскости ($M \in \alpha$).
3. По условию, прямая $c$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $b$. Рассмотрим два возможных случая для положения точки $M$.
   • Случай 1: Точка $M$ совпадает с точкой пересечения прямых $O$. В этом случае прямая $c$ проходит через точку $O$ (которая лежит на прямой $b$) и при этом параллельна $b$. Это возможно только если прямая $c$ совпадает с прямой $b$. Тогда речь идёт всего о двух пересекающихся прямых $a$ и $b$, которые, как было установлено в пункте 1, лежат в одной плоскости.
   • Случай 2: Точка $M$ не совпадает с точкой пересечения $O$. В этом случае точка $M$ не принадлежит прямой $b$. По определению, две параллельные прямые ($b$ и $c$) задают единственную плоскость. Назовём эту плоскость $\beta$. Обе прямые, $b$ и $c$, лежат в плоскости $\beta$.
4. Теперь сравним плоскости $\alpha$ и $\beta$ для второго, основного, случая.
   • Плоскость $\alpha$ содержит прямую $b$ и точку $M$ (так как $M \in a$ и $a \subset \alpha$).
   • Плоскость $\beta$ также содержит прямую $b$ и точку $M$ (так как $b \subset \beta$ и $M \in c$, а $c \subset \beta$).
   Согласно теореме о единственности плоскости, через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Так как и $\alpha$, и $\beta$ проходят через прямую $b$ и точку $M$ (не лежащую на $b$), эти плоскости должны совпадать.
5. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ — это одна и та же плоскость, и мы знаем, что прямые $a$ и $b$ лежат в $\alpha$, а прямая $c$ лежит в $\beta$, то получается, что все три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной и той же плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Две пересекающиеся прямые ($a, b$) определяют плоскость $\alpha$. Точка $M$ на прямой $a$ также лежит в этой плоскости. Прямая $c$, параллельная $b$ и проходящая через $M$, вместе с прямой $b$ определяет плоскость $\beta$. Так как обе плоскости ($\alpha$ и $\beta$) проходят через прямую $b$ и точку $M$, не лежащую на ней, эти плоскости совпадают. Следовательно, все три прямые лежат в одной плоскости.

22. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости треугольника. Точка $M$ — середина стороны $AC$. Докажите, что прямые $a$ и $BM$ — скрещивающиеся.

Для доказательства того, что прямые a и BM являются скрещивающимися, воспользуемся определением и признаком скрещивающихся прямых. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Доказательство от противного:

Предположим, что прямые a и BM не являются скрещивающимися. Это означает, что они лежат в одной плоскости (то есть они либо пересекаются, либо параллельны). Назовем эту плоскость $\beta$.

1. По условию, прямая a проходит через точку $A$. Если прямая a лежит в плоскости $\beta$, то и точка $A$ также лежит в этой плоскости ($A \in \beta$).
2. Прямая $BM$ по нашему предположению также лежит в плоскости $\beta$. Это означает, что все точки этой прямой, включая точки $B$ и $M$, лежат в плоскости $\beta$ ($B \in \beta$ и $M \in \beta$).
3. Таким образом, три точки — $A$, $B$ и $M$ — лежат в одной плоскости $\beta$.

Теперь рассмотрим расположение этих точек. $A$ и $B$ — вершины треугольника $ABC$. $M$ — середина стороны $AC$, следовательно, $BM$ — медиана треугольника. Точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой (иначе вершины $A, B, C$ лежали бы на одной прямой, что противоречит условию, что $ABC$ — треугольник).

Три точки, не лежащие на одной прямой ($A, B, M$), однозначно определяют плоскость. Все эти три точки ($A, B$ и $M$) по определению лежат в плоскости треугольника $ABC$. Обозначим плоскость треугольника $ABC$ как $\alpha$.

Следовательно, плоскость $\beta$, проходящая через точки $A, B, M$, совпадает с плоскостью $\alpha$.

Из нашего предположения следовало, что прямая a лежит в плоскости $\beta$. А поскольку плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то получается, что прямая a лежит в плоскости $\alpha$ (плоскости треугольника $ABC$).

Это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что "прямая a, не принадлежащая плоскости треугольника".

Наше первоначальное предположение о том, что прямые a и BM не являются скрещивающимися, привело к противоречию. Следовательно, это предположение неверно, и прямые a и BM являются скрещивающимися.

Доказательство по признаку скрещивающихся прямых:

Признак скрещивающихся прямых гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

1. Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$ (обозначим её $\alpha$). Прямая $BM$ полностью лежит в этой плоскости, так как обе точки $B$ и $M$ принадлежат плоскости $\alpha$.
2. Прямая a, по условию, проходит через точку $A$ (которая лежит в плоскости $\alpha$) и не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая a пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $A$.
3. Точка пересечения $A$ не принадлежит прямой $BM$. Прямая $BM$ — это медиана, и вершина $A$ не может лежать на ней (кроме случая вырожденного треугольника, что противоречит условию).

Таким образом, прямая $BM$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая a пересекает эту плоскость в точке $A$, не лежащей на прямой $BM$. По признаку скрещивающихся прямых делаем вывод, что прямые a и $BM$ скрещивающиеся.

Ответ: Доказано, что прямые a и BM — скрещивающиеся.

23. Через конец $A$ отрезка $AB$ проведена плоскость $\alpha$, а через точку $B$ — прямая, пересекающая плоскость $\alpha$ в точке $B_1$. На продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ отметили точку $C$.

1) Постройте точку $C_1$ пересечения плоскости $\alpha$ с прямой, проходящей через точку $C$ и параллельной прямой $BB_1$.

2) Найдите отрезок $AB$, если $AC : CC_1 = 7 : 4$, $BB_1 = 8$ см.

1) Постройте точку C₁ пересечения плоскости α с прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой BB₁.

Точки A, B и C лежат на одной прямой по условию. Обозначим прямую, проходящую через точку C и параллельную прямой BB₁, как прямую c. Поскольку прямые BB₁ и c параллельны, они задают единственную плоскость, назовем ее β. Так как прямая AC пересекает обе эти параллельные прямые (в точках B и C), она также лежит в плоскости β. Следовательно, все точки A, B, C, B₁, а также искомая точка C₁ лежат в одной плоскости β.

Плоскость α проходит через точки A и B₁. Это означает, что вся прямая AB₁ лежит в плоскости α. Искомая точка C₁ является точкой пересечения прямой c и плоскости α. Поскольку прямая c лежит в плоскости β, а точка C₁ должна также лежать в плоскости α, то C₁ должна принадлежать линии пересечения плоскостей α и β. Линией пересечения плоскостей α и β является прямая AB₁, так как обе точки A и B₁ принадлежат обеим плоскостям.

Таким образом, для построения точки C₁ необходимо провести прямую через точку C параллельно прямой BB₁ до ее пересечения с прямой AB₁. Точка их пересечения и будет искомой точкой C₁.

Ответ: Точка C₁ является точкой пересечения прямой, проходящей через C параллельно BB₁, и прямой AB₁.

2) Найдите отрезок AB, если AC : CC₁ = 7 : 4, BB₁ = 8 см.

Рассмотрим треугольник ΔACC₁. Точка B лежит на стороне AC, а точка B₁ лежит на стороне AC₁. По построению из пункта 1, прямая BB₁ параллельна прямой CC₁.

Согласно обобщенной теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников), если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает от него треугольник, подобный данному. Следовательно, треугольник ΔABB₁ подобен треугольнику ΔACC₁ ($\Delta ABB_1 \sim \Delta ACC_1$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $\frac{AB}{AC} = \frac{BB_1}{CC_1}$

Это соотношение можно переписать в виде: $\frac{AB}{BB_1} = \frac{AC}{CC_1}$

По условию задачи нам дано, что $\frac{AC}{CC_1} = \frac{7}{4}$ и $BB_1 = 8$ см. Подставим эти значения в полученную пропорцию: $\frac{AB}{8} = \frac{7}{4}$

Теперь выразим AB: $AB = 8 \cdot \frac{7}{4} = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.