Номер 23, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Через конец $A$ отрезка $AB$ проведена плоскость $\alpha$, а через точку $B$ — прямая, пересекающая плоскость $\alpha$ в точке $B_1$. На продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ отметили точку $C$.

1) Постройте точку $C_1$ пересечения плоскости $\alpha$ с прямой, проходящей через точку $C$ и параллельной прямой $BB_1$.

2) Найдите отрезок $AB$, если $AC : CC_1 = 7 : 4$, $BB_1 = 8$ см.

1) Постройте точку C₁ пересечения плоскости α с прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой BB₁.

Точки A, B и C лежат на одной прямой по условию. Обозначим прямую, проходящую через точку C и параллельную прямой BB₁, как прямую c. Поскольку прямые BB₁ и c параллельны, они задают единственную плоскость, назовем ее β. Так как прямая AC пересекает обе эти параллельные прямые (в точках B и C), она также лежит в плоскости β. Следовательно, все точки A, B, C, B₁, а также искомая точка C₁ лежат в одной плоскости β.

Плоскость α проходит через точки A и B₁. Это означает, что вся прямая AB₁ лежит в плоскости α. Искомая точка C₁ является точкой пересечения прямой c и плоскости α. Поскольку прямая c лежит в плоскости β, а точка C₁ должна также лежать в плоскости α, то C₁ должна принадлежать линии пересечения плоскостей α и β. Линией пересечения плоскостей α и β является прямая AB₁, так как обе точки A и B₁ принадлежат обеим плоскостям.

Таким образом, для построения точки C₁ необходимо провести прямую через точку C параллельно прямой BB₁ до ее пересечения с прямой AB₁. Точка их пересечения и будет искомой точкой C₁.

Ответ: Точка C₁ является точкой пересечения прямой, проходящей через C параллельно BB₁, и прямой AB₁.

2) Найдите отрезок AB, если AC : CC₁ = 7 : 4, BB₁ = 8 см.

Рассмотрим треугольник ΔACC₁. Точка B лежит на стороне AC, а точка B₁ лежит на стороне AC₁. По построению из пункта 1, прямая BB₁ параллельна прямой CC₁.

Согласно обобщенной теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников), если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает от него треугольник, подобный данному. Следовательно, треугольник ΔABB₁ подобен треугольнику ΔACC₁ ($\Delta ABB_1 \sim \Delta ACC_1$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $\frac{AB}{AC} = \frac{BB_1}{CC_1}$

Это соотношение можно переписать в виде: $\frac{AB}{BB_1} = \frac{AC}{CC_1}$

По условию задачи нам дано, что $\frac{AC}{CC_1} = \frac{7}{4}$ и $BB_1 = 8$ см. Подставим эти значения в полученную пропорцию: $\frac{AB}{8} = \frac{7}{4}$

Теперь выразим AB: $AB = 8 \cdot \frac{7}{4} = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.