Номер 30, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ параллельна плоскости $\gamma$, а лучи $AD$ и $AB$ пересекают эту плоскость в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что треугольники $DAB$ и $MAN$ подобны.

Прямые $AD$ и $AB$, на которых лежат стороны параллелограмма $ABCD$, пересекаются в точке $A$ и, следовательно, задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Весь параллелограмм $ABCD$ и, в частности, треугольник $DAB$ лежат в этой плоскости $\alpha$.По условию, лучи $AD$ и $AB$ пересекают плоскость $\gamma$ в точках $M$ и $N$. Это означает, что точка $M$ принадлежит прямой $AD$, а точка $N$ принадлежит прямой $AB$. Следовательно, точки $M$ и $N$ и весь треугольник $MAN$ также лежат в плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы имеем две плоскости: $\alpha$ и $\gamma$. В плоскости $\alpha$ лежит прямая $BD$. По условию, прямая $BD$ параллельна плоскости $\gamma$ ($BD \parallel \gamma$). Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $BD$ и пересекает плоскость $\gamma$. Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая $MN$, так как точки $M$ и $N$ принадлежат обеим плоскостям.

Воспользуемся свойством параллельных прямой и плоскости: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. В нашем случае плоскость $\alpha$ проходит через прямую $BD$, параллельную плоскости $\gamma$, и пересекает $\gamma$ по прямой $MN$. Следовательно, $BD \parallel MN$.

Теперь рассмотрим треугольники $DAB$ и $MAN$. Они оба лежат в плоскости $\alpha$.

1. Угол при вершине $A$, то есть $\angle DAB$, является общим для обоих треугольников. Следовательно, $\angle DAB = \angle MAN$.
2. Поскольку мы доказали, что $BD \parallel MN$, то при пересечении этих параллельных прямых секущей $AD$ соответственные углы равны: $\angle ADB = \angle AMN$.

Так как два угла одного треугольника ($\triangle DAB$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle MAN$), то по первому признаку подобия треугольников (по двум углам) эти треугольники подобны.Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $DAB$ и $MAN$ подобны по двум углам. У них есть общий угол $\angle A$. Равенство другой пары углов ($\angle ADB = \angle AMN$ или $\angle ABD = \angle ANM$) следует из параллельности прямых $BD$ и $MN$. Эта параллельность, в свою очередь, следует из того, что прямая $BD$ по условию параллельна плоскости $\gamma$, а прямая $MN$ является линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости треугольника $DAB$, которая содержит прямую $BD$.