Номер 34, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, которая проходит через точки $E$ и $F$, принадлежащие соответственно рёбрам $AB$ и $CD$, и параллельна прямой $BB_1$.

Пусть $\alpha$ - искомая секущая плоскость. По условию, она проходит через точки $E \in AB$ и $F \in CD$ и параллельна прямой $BB_1$. Построение сечения заключается в последовательном нахождении линий пересечения плоскости $\alpha$ с гранями призмы.

1. Соединяем точки $E$ и $F$. Так как точки $E$ и $F$ принадлежат одновременно и секущей плоскости $\alpha$, и плоскости нижнего основания $(ABC)$, то отрезок $EF$ является линией их пересечения.
2. По условию, плоскость сечения $\alpha$ параллельна прямой $BB_1$. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости боковой грани $(ABB_1A_1)$. Согласно свойству параллельности прямой и плоскости, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $(ABB_1A_1)$ должна быть параллельна $BB_1$. Эта линия пересечения проходит через точку $E$. Проведём в плоскости грани $(ABB_1A_1)$ через точку $E$ прямую, параллельную ребру $BB_1$. Пусть точка пересечения этой прямой с ребром $A_1B_1$ есть точка $E_1$. Отрезок $EE_1$ — одна из сторон сечения.
3. В призме все боковые ребра параллельны между собой, следовательно, $CC_1 \parallel BB_1$. Это означает, что секущая плоскость $\alpha$ параллельна и ребру $CC_1$. Аналогично предыдущему шагу, в плоскости боковой грани $(CDD_1C_1)$ через точку $F$ проводим прямую, параллельную ребру $CC_1$. Пусть точка пересечения этой прямой с ребром $C_1D_1$ есть точка $F_1$. Отрезок $FF_1$ — еще одна сторона сечения.
4. Соединяем точки $E_1$ и $F_1$. Так как точки $E_1$ и $F_1$ принадлежат и секущей плоскости $\alpha$, и плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$, отрезок $E_1F_1$ является линией их пересечения.

Последовательно соединив точки $E$, $F$, $F_1$ и $E_1$, получаем искомое сечение — четырёхугольник $EFF_1E_1$.

Обоснование вида сечения: по построению имеем $EE_1 \parallel BB_1$ и $FF_1 \parallel CC_1$. Так как $BB_1 \parallel CC_1$, то $EE_1 \parallel FF_1$. Длины этих отрезков также равны ($EE_1 = FF_1$), так как они являются отрезками параллельных прямых, заключёнными между параллельными плоскостями оснований призмы. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, сечение $EFF_1E_1$ — это параллелограмм.

Ответ: Искомым сечением является параллелограмм $EFF_1E_1$, где точка $E_1$ на ребре $A_1B_1$ такова, что $EE_1 \parallel BB_1$, а точка $F_1$ на ребре $C_1D_1$ такова, что $FF_1 \parallel CC_1$.