Номер 16, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 37) плоскостью, которая проходит через точки $T, F$ и $E$, принадлежащие рёбрам $SA, AB$ и $BC$ соответственно.

Рис. 37

Для построения искомого сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки T, F и E, выполним следующие шаги, используя метод следов.

1. Точки T и F лежат в плоскости одной грани SAB (по условию $T \in SA$, $F \in AB$). Соединим их отрезком TF. Отрезок TF является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью SAB.

2. Точки F и E лежат в плоскости основания ABC (по условию $F \in AB$, $E \in BC$). Соединим их отрезком FE. Отрезок FE является следом секущей плоскости на плоскости основания ABC.

3. Теперь необходимо найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами SC и AC. Для этого найдем след секущей плоскости на грани SAC. Прямая FE лежит в секущей плоскости. Также она лежит в плоскости основания ABC. Прямая AC также лежит в плоскости основания ABC. В общем случае эти прямые не параллельны и, следовательно, пересекаются. Продлим отрезки FE и AC до их пересечения в точке P.
$P = (FE) \cap (AC)$
Построенная точка P принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой FE) и плоскости грани SAC (так как лежит на прямой AC).

4. Теперь у нас есть две точки, T и P, которые принадлежат одновременно и секущей плоскости, и плоскости грани SAC. Проведем через них прямую TP. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости грани SAC.

5. Прямая TP, лежащая в плоскости грани SAC, пересекает ребро SC этой грани в некоторой точке. Обозначим эту точку G.
$G = (TP) \cap SC$
Точка G является четвертой вершиной искомого сечения.

6. Соединим точку G с точкой E. Обе эти точки ($G \in SC$, $E \in BC$) лежат в плоскости грани SBC, поэтому отрезок GE является линией пересечения секущей плоскости с гранью SBC. В результате последовательного соединения точек T, F, E и G мы получаем замкнутый четырехугольник TFEG, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник TFEG.