Номер 12, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. На рёбрах $AB$ и $AC$ пирамиды $SABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 34). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $SBC$, если прямые $MK$ и $BC$ не параллельны.

Рис. 34

12.

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $SBC$, необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой $MK$, и плоскости $SBC$.

Алгоритм построения и обоснование:

1. Точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $AB$ и $AC$ соответственно. Ребра $AB$ и $AC$ принадлежат плоскости основания пирамиды $ABC$. Следовательно, вся прямая $MK$ также лежит в плоскости $ABC$.
2. Рассмотрим две плоскости: плоскость, в которой лежит прямая $MK$ (это плоскость $ABC$), и плоскость, с которой мы ищем пересечение (это плоскость $SBC$).
3. Найдем линию пересечения этих двух плоскостей. Плоскость $ABC$ и плоскость $SBC$ имеют две общие точки – $B$ и $C$. Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Значит, плоскости $(ABC)$ и $(SBC)$ пересекаются по прямой $BC$.
4. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $SBC$ должна лежать на линии пересечения плоскостей, в которых они находятся. То есть, искомая точка должна лежать на прямой $BC$.
5. Прямые $MK$ и $BC$ обе лежат в одной плоскости $(ABC)$. По условию задачи, они не параллельны ($MK \nparallel BC$). Следовательно, они пересекаются в одной точке.
6. Построим эту точку. Продлим отрезки $MK$ и $BC$ до их пересечения и обозначим полученную точку как $P$.

Проверка:

• По построению, точка $P$ принадлежит прямой $MK$ ($P \in MK$).
• По построению, точка $P$ принадлежит прямой $BC$ ($P \in BC$). Так как прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $SBC$ ($BC \subset (SBC)$), то и точка $P$ также принадлежит плоскости $SBC$ ($P \in (SBC)$).

Таким образом, точка $P$ является точкой пересечения прямой $MK$ и плоскости $SBC$.

Ответ: Искомая точка пересечения является точкой пересечения прямых $MK$ и $BC$.