Номер 7, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$. Докажите, что через прямую $a$ можно провести плоскость, отличную от плоскости $\alpha$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аксиомами стереометрии и следствиями из них.

Дано:
Прямая $a$
Плоскость $\alpha$
$a \subset \alpha$ (прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$)

Доказать:
Существует плоскость $\beta$ такая, что $a \subset \beta$ и $\beta \neq \alpha$.

Доказательство:

1. Согласно аксиоме стереометрии, существуют точки, не лежащие в одной плоскости. Это означает, что для любой заданной плоскости, в том числе для плоскости $\alpha$, всегда найдется точка в пространстве, которая этой плоскости не принадлежит. Выберем такую точку и назовем ее $M$. Таким образом, мы имеем точку $M$, для которой выполняется условие $M \notin \alpha$.

2. Теперь рассмотрим прямую $a$ и точку $M$. Так как вся прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а точка $M$ находится вне этой плоскости ($M \notin \alpha$), то точка $M$ не может лежать на прямой $a$. То есть, $M \notin a$.

3. Воспользуемся следствием из аксиом стереометрии (теоремой), которое гласит: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через нашу прямую $a$ и точку $M$ (которая не лежит на $a$) проведем плоскость. Обозначим эту плоскость буквой $\beta$.

4. По построению, плоскость $\beta$ содержит прямую $a$ ($a \subset \beta$) и точку $M$ ($M \in \beta$). Первое условие доказательства ($a \subset \beta$) выполнено.

5. Теперь докажем, что плоскость $\beta$ не совпадает с плоскостью $\alpha$, то есть $\beta \neq \alpha$. Будем доказывать от противного. Предположим, что наше утверждение неверно и плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают: $\alpha = \beta$.

6. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают, то любая точка, принадлежащая одной плоскости, должна принадлежать и другой. Мы знаем, что точка $M$ по построению принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$). Из нашего предположения ($\alpha = \beta$) следует, что точка $M$ должна также принадлежать и плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

7. Однако это заключение ($M \in \alpha$) напрямую противоречит нашему первоначальному выбору точки $M$ на шаге 1, где мы установили, что $M \notin \alpha$.

8. Полученное противоречие означает, что наше допущение о совпадении плоскостей было ложным. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны: $\alpha \neq \beta$.

Таким образом, мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $a$ и отлична от плоскости $\alpha$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Через прямую $a$, лежащую в плоскости $\alpha$, можно провести другую плоскость $\beta$. Для этого достаточно выбрать любую точку $M$ в пространстве, не лежащую в плоскости $\alpha$, и провести плоскость $\beta$ через прямую $a$ и точку $M$. Так как точек вне плоскости $\alpha$ бесконечно много, то и плоскостей, проходящих через прямую $a$ и отличных от $\alpha$, также бесконечно много.