Номер 3, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Квадрат $ABCD$ и треугольник $CDM$ не лежат в одной плоскости (рис. 33). На отрезке $CM$ отметили точку $E$, а на отрезке $DM$ — точку $F$ так, что $ME : EC = DF : FM = 2 : 3$. Постройте:

1) линию пересечения плоскостей BEF и CDM;

По определению, линия пересечения двух плоскостей — это прямая, которая содержит все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим плоскости BEF и CDM.

1. Точка E по условию лежит на отрезке CM. Отрезок CM, в свою очередь, лежит в плоскости CDM. Следовательно, точка E принадлежит плоскости CDM. Также, по определению плоскости BEF, точка E принадлежит этой плоскости. Таким образом, E — общая точка для обеих плоскостей.

2. Аналогично, точка F по условию лежит на отрезке DM. Отрезок DM лежит в плоскости CDM. Следовательно, точка F принадлежит плоскости CDM. Точка F также принадлежит плоскости BEF. Таким образом, F — вторая общая точка для обеих плоскостей.

Поскольку две точки однозначно определяют прямую, то прямая, проходящая через точки E и F (прямая EF), является линией пересечения плоскостей BEF и CDM.

Построение: Соединить точки E и F. Прямая, содержащая отрезок EF, и есть искомая линия пересечения.

Ответ: Прямая EF.

2) точку пересечения прямой EF с плоскостью ABC.

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, можно воспользоваться следующим методом: 1. Выбрать вспомогательную плоскость, проходящую через данную прямую (EF). 2. Найти линию пересечения этой вспомогательной плоскости с данной плоскостью (ABC). 3. Точка пересечения исходной прямой (EF) и найденной линии пересечения и будет искомой точкой.

1. В качестве вспомогательной плоскости, содержащей прямую EF, выберем плоскость CDM, так как точки E и F лежат в этой плоскости.

2. Найдем линию пересечения плоскостей CDM и ABC. Плоскость ABC — это плоскость квадрата ABCD. Точки C и D являются общими для обеих плоскостей. Следовательно, прямая CD является линией их пересечения.

3. Искомая точка пересечения прямой EF с плоскостью ABC лежит на прямой CD. Значит, это точка пересечения прямых EF и CD.

Докажем, что прямые EF и CD пересекаются. Обе прямые лежат в одной плоскости (CDM). Они пересекутся в том и только в том случае, если они не параллельны. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), прямая EF была бы параллельна CD, если бы выполнялось равенство $ \frac{ME}{EC} = \frac{MF}{FD} $.

По условию задачи даны соотношения: $ \frac{ME}{EC} = \frac{2}{3} $
$ \frac{DF}{FM} = \frac{2}{3} $, из чего следует, что $ \frac{MF}{FD} = \frac{3}{2} $.

Сравнивая отношения, получаем: $ \frac{ME}{EC} = \frac{2}{3} $, а $ \frac{MF}{FD} = \frac{3}{2} $.
Так как $ \frac{2}{3} \neq \frac{3}{2} $, прямые EF и CD не параллельны.

Поскольку прямые EF и CD лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку P. Точка P принадлежит прямой EF и прямой CD. Так как прямая CD лежит в плоскости ABC, то точка P также лежит в плоскости ABC. Следовательно, P — искомая точка пересечения.

Построение: В плоскости CDM продлить отрезки EF и CD до их пересечения. Точка, в которой эти прямые пересекутся, и будет искомой.

Ответ: Точка пересечения прямых EF и CD.