Номер 210, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Усечённая пирамида

210. Стороны оснований правильной усечённой шестиугольной пирамиды равны 4 см и 8 см, а боковое ребро — $ \sqrt{7} $ см. Найдите площадь полной поверхности усечённой пирамиды.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды $S_{полн}$ вычисляется по формуле, которая представляет собой сумму площадей боковой поверхности и двух оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, $S_{осн1}$ — площадь большего основания, а $S_{осн2}$ — площадь меньшего основания.

Решим задачу по шагам.

1. Нахождение площадей оснований

Основаниями правильной усечённой шестиугольной пирамиды являются правильные шестиугольники. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{шест} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Сторона большего основания $a_1 = 8$ см. Вычислим его площадь:

$S_{осн1} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 64 = 3 \cdot 32\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$ см².

Сторона меньшего основания $a_2 = 4$ см. Вычислим его площадь:

$S_{осн2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 3 \cdot 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности

Боковая поверхность пирамиды состоит из 6 одинаковых равнобедренных трапеций. Основания каждой трапеции — это стороны оснований пирамиды ($a_1 = 8$ см и $a_2 = 4$ см), а боковая сторона — это боковое ребро пирамиды ($l = \sqrt{7}$ см).

Для вычисления площади трапеции нам нужна ее высота, которая также является апофемой усеченной пирамиды. Обозначим ее $h_a$. Рассмотрим одну из боковых граней-трапеций. Если провести высоту из вершины меньшего основания к большему, образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника будет боковое ребро $l$, одним катетом — высота $h_a$, а вторым катетом — отрезок, равный полуразности оснований трапеции:

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Применим теорему Пифагора:

$l^2 = h_a^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$(\sqrt{7})^2 = h_a^2 + 2^2$

$7 = h_a^2 + 4$

$h_a^2 = 7 - 4 = 3$

$h_a = \sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь одной трапеции:

$S_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a = \frac{8 + 4}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{12}{2} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см².

Так как боковая поверхность состоит из шести таких трапеций, ее общая площадь равна:

$S_{бок} = 6 \cdot S_{трап} = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности

Сложим площади двух оснований и боковой поверхности, чтобы найти площадь полной поверхности усечённой пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

$S_{полн} = 96\sqrt{3} + 24\sqrt{3} + 36\sqrt{3} = (96 + 24 + 36)\sqrt{3} = 156\sqrt{3}$ см².

Ответ: $156\sqrt{3}$ см².