Номер 212, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде диагонали оснований равны 10 см и 6 см, а боковая грань образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите высоту усечённой пирамиды.

1. Нахождение сторон оснований
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде основаниями являются квадраты. Связь между стороной квадрата $a$ и его диагональю $d$ определяется формулой $d = a\sqrt{2}$. Отсюда можно выразить сторону: $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Для большего основания с диагональю $d_1 = 10$ см, сторона $a_1$ равна:
$a_1 = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Для меньшего основания с диагональю $d_2 = 6$ см, сторона $a_2$ равна:
$a_2 = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

2. Построение для нахождения высоты
Угол между боковой гранью и плоскостью большего основания — это двугранный угол. Для нахождения его линейного угла рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы (высоты боковых граней) и перпендикулярное сторонам оснований.

Пусть $O$ и $O_1$ – центры большего и меньшего оснований, а $H=OO_1$ – высота усеченной пирамиды. Пусть $M$ и $M_1$ – середины соответственных сторон оснований. Отрезки $OM$ и $O_1M_1$ – это апофемы оснований, и их длины равны половине длин сторон соответствующих квадратов: $OM = \frac{a_1}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ см.
$O_1M_1 = \frac{a_2}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

В сечении образуется прямоугольная трапеция $OMM_1O_1$. Проведем в ней высоту $M_1K$ из точки $M_1$ на отрезок $OM$. Мы получаем прямоугольный треугольник $\triangle M_1KM$, в котором:

• катет $M_1K$ равен высоте пирамиды $H$;
• угол $\angle M_1MK$ — это линейный угол двугранного угла, который по условию равен $60^\circ$;
• катет $MK$ равен разности длин $OM$ и $OK$. Так как $OK = O_1M_1$, то $MK = OM - O_1M_1$.

3. Вычисление высоты пирамиды
Найдем длину катета $MK$:
$MK = OM - O_1M_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle M_1KM$ найдем высоту $H = M_1K$, используя определение тангенса угла:
$\tan(\angle M_1MK) = \frac{M_1K}{MK}$
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{\sqrt{2}}$
Выразим высоту $H$:
$H = \sqrt{2} \cdot \tan(60^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ см.

Ответ: $\sqrt{6}$ см.