Номер 1, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2

Основные понятия стереометрии.

Аксиомы стереометрии

1. Изобразите: плоскость $\beta$ и прямую $a$, лежащую в этой плоскости; точку $C$, не принадлежащую плоскости $\beta$; прямую $b$, пересекающую плоскость $\beta$ в точке $K$, принадлежащей прямой $a$. Запишите с помощью соответствующих символов утверждение:

1) прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$;

2) точка $C$ не принадлежит плоскости $\beta$;

3) точка $K$ принадлежит плоскости $\beta$;

4) прямая $b$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $K$.

Для решения задачи сначала выполним построение, отвечающее всем условиям.

На рисунке изображена плоскость $β$, прямая $a$, лежащая в этой плоскости, и точка $C$, не принадлежащая плоскости $β$. Прямая $b$ пересекает плоскость $β$ в точке $K$, которая, в свою очередь, лежит на прямой $a$. Часть прямой $b$, находящаяся "под" плоскостью, изображена пунктиром.

Теперь запишем требуемые утверждения с помощью соответствующих математических символов.

1) прямая a лежит в плоскости β;

Тот факт, что прямая $a$ целиком находится в плоскости $β$, записывается с помощью знака включения множества ($ \subset $). Это означает, что каждая точка прямой $a$ является также точкой плоскости $β$.
Ответ: $a \subset \beta$

2) точка C не принадлежит плоскости β;

Для обозначения того, что точка (элемент) не принадлежит плоскости (множеству), используется знак непринадлежности ($ \notin $).
Ответ: $C \notin \beta$

3) точка K принадлежит плоскости β;

Точка $K$ принадлежит плоскости $β$, так как она является точкой пересечения прямой $b$ с этой плоскостью. Для обозначения принадлежности используется знак ($ \in $).
Ответ: $K \in \beta$

4) прямая b пересекает плоскость β в точке K.

Это означает, что общей точкой для прямой $b$ и плоскости $β$ является только точка $K$. В терминах теории множеств, пересечение прямой $b$ и плоскости $β$ есть множество, состоящее из одной точки $K$. Это записывается с помощью знака пересечения ($ \cap $).
Ответ: $b \cap \beta = K$