Номер 211, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

211. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 10 см и 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная усеченная четырехугольная пирамида. Это означает, что ее основаниями являются два квадрата, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Обозначим сторону большего основания как $a_1$, а сторону меньшего основания как $a_2$. По условию, $a_1 = 10$ см и $a_2 = 6$ см.

Диагональное сечение этой пирамиды представляет собой равнобедренную трапецию, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а высотой — высота самой усеченной пирамиды ($h$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

1. Найдем диагонали оснований.
Основания — квадраты, поэтому их диагонали находятся по формуле $d = a\sqrt{2}$.
Диагональ большего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.
Диагональ меньшего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

2. Найдем высоту усеченной пирамиды $h$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды $h$ и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью большего основания по условию равен $45^\circ$.
Катетами этого треугольника являются высота пирамиды $h$ и разность полудиагоналей оснований.
Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания равна:
$x = \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} - \frac{6\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Так как угол наклона бокового ребра равен $45^\circ$, то рассматриваемый прямоугольный треугольник является равнобедренным. Это значит, что его катеты равны:
$h = x = 2\sqrt{2}$ см.

3. Найдем площадь диагонального сечения.
Теперь, зная оба основания ($d_1$, $d_2$) и высоту ($h$) трапеции (диагонального сечения), мы можем вычислить ее площадь:
$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h = \frac{10\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2}$
$S_{сеч} = \frac{16\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 16 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ см².

Ответ: $32$ см².