Номер 206, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Боковые грани $MAB$ и $MAC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания, $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, $MA = 12$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ — это сумма площадей ее боковых граней: $\triangle MAB$, $\triangle MAC$ и $\triangle MBC$.

$S_{бок} = S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAC} + S_{\triangle MBC}$

Согласно условию, боковые грани $MAB$ и $MAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости. Линией пересечения граней $MAB$ и $MAC$ является ребро $MA$. Следовательно, ребро $MA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то есть $MA$ — высота пирамиды.

Поскольку $MA \perp (ABC)$, ребро $MA$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $A$. Таким образом, $MA \perp AB$ и $MA \perp AC$. Это значит, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $A$.

Вычислим площади этих двух граней как половины произведения их катетов:
$S_{\triangle MAB} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 = 78$ см².
$S_{\triangle MAC} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 90$ см².

Далее найдем площадь третьей боковой грани, $\triangle MBC$. Для этого проведем высоту $MH$ из вершины $M$ к стороне $BC$.
В плоскости основания $ABC$ проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Так как $MA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $AH$ — проекция наклонной $MH$ на эту плоскость, и по построению $AH \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MH$ также перпендикулярна $BC$. Следовательно, $MH$ является высотой треугольника $\triangle MBC$.

Чтобы найти длину $MH$, сначала найдем длину высоты $AH$ треугольника $ABC$. Для этого вычислим площадь $\triangle ABC$ по формуле Герона, используя длины его сторон: $a = BC = 14$ см, $b = AC = 15$ см, $c = AB = 13$ см.
Полупериметр $p$ равен:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{14+15+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
Площадь $S_{\triangle ABC}$ равна:
$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{7056} = 84$ см².
Теперь, зная площадь, найдем высоту $AH$ по формуле $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$:
$AH = \frac{2 \cdot S_{\triangle ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAH$. Он является прямоугольным, так как $MA \perp AH$ (поскольку $MA$ перпендикулярно всей плоскости основания). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MH$:
$MH = \sqrt{MA^2 + AH^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная высоту $MH$ треугольника $\triangle MBC$, можем найти его площадь:
$S_{\triangle MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12\sqrt{2} = 7 \cdot 12\sqrt{2} = 84\sqrt{2}$ см².

Наконец, сложим площади всех трех боковых граней, чтобы найти общую площадь боковой поверхности пирамиды:
$S_{бок} = S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAC} + S_{\triangle MBC} = 78 + 90 + 84\sqrt{2} = 168 + 84\sqrt{2}$ см².

Ответ: $168 + 84\sqrt{2}$ см².