Номер 203, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $2\alpha$ при основании и радиусом вписанной окружности $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB = BC$. Углы при основании треугольника равны $\angle BAC = \angle BCA = 2\alpha$, следовательно, угол при вершине $\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot (2\alpha) = \pi - 4\alpha$. Радуис вписанной в основание окружности равен $r$. Все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$.

Так как все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр) $O$. Высота пирамиды $H=SO$ перпендикулярна плоскости основания. Расстояние от инцентра $O$ до каждой стороны основания равно радиусу вписанной окружности $r$.

Апофема (высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды) $h_a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$. Двугранный угол $\beta$ является углом между апофемой и радиусом, проведенным в точку касания. Таким образом, $\cos\beta = \frac{r}{h_a}$, откуда $h_a = \frac{r}{\cos\beta}$. Так как радиус $r$ один и тот же для всех сторон, все апофемы боковых граней равны.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней:

$S_{бок} = \frac{1}{2} AC \cdot h_a + \frac{1}{2} AB \cdot h_a + \frac{1}{2} BC \cdot h_a = \frac{1}{2} (AC+AB+BC) \cdot h_a = p \cdot h_a$,

где $p$ — полупериметр основания. Подставив выражение для апофемы, получим:

$S_{бок} = p \cdot \frac{r}{\cos\beta} = \frac{p \cdot r}{\cos\beta}$.

Площадь основания $S_{осн}$ треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности как $S_{осн} = p \cdot r$. Таким образом, получаем известное соотношение:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta}$.

Теперь найдем площадь основания. Для этого нам нужно вычислить полупериметр $p$. Полупериметр можно найти, зная углы треугольника и радиус вписанной окружности. Углы треугольника $A$, $B$, $C$ равны $2\alpha$, $\pi-4\alpha$ и $2\alpha$ соответственно. Полупериметр связан с радиусом вписанной окружности и углами по формуле:

$p = r \left( \cot\frac{A}{2} + \cot\frac{B}{2} + \cot\frac{C}{2} \right)$.

Подставляем значения наших углов:

$p = r \left( \cot\frac{2\alpha}{2} + \cot\frac{\pi-4\alpha}{2} + \cot\frac{2\alpha}{2} \right) = r \left( \cot\alpha + \cot\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right) + \cot\alpha \right)$.

Используя формулу приведения $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan(x)$, получаем:

$p = r(2\cot\alpha + \tan(2\alpha))$.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = p \cdot r = r^2(2\cot\alpha + \tan(2\alpha))$.

Наконец, находим площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta} = \frac{r^2(2\cot\alpha + \tan(2\alpha))}{\cos\beta}$.

Можно упростить выражение в скобках:

$2\cot\alpha + \tan(2\alpha) = \frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\cos\alpha\cos(2\alpha) + \sin\alpha\sin(2\alpha)}{\sin\alpha\cos(2\alpha)}$.

Числитель дроби равен $2\cos\alpha\cos(2\alpha) + \sin\alpha\sin(2\alpha) = \cos\alpha\cos(2\alpha) + (\cos\alpha\cos(2\alpha) + \sin\alpha\sin(2\alpha)) = \cos\alpha\cos(2\alpha) + \cos(2\alpha-\alpha) = \cos\alpha\cos(2\alpha) + \cos\alpha = \cos\alpha(1+\cos(2\alpha))$.

Используя формулу $1+\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$, получаем, что числитель равен $\cos\alpha \cdot 2\cos^2\alpha = 2\cos^3\alpha$.

Таким образом, $2\cot\alpha + \tan(2\alpha) = \frac{2\cos^3\alpha}{\sin\alpha\cos(2\alpha)}$.

Подставляя это в формулу для площади боковой поверхности, получаем окончательный вид ответа.

Ответ: $S_{бок} = \frac{r^2(2\cot\alpha + \tan(2\alpha))}{\cos\beta} = \frac{2r^2\cos^3\alpha}{\sin\alpha\cos(2\alpha)\cos\beta}$.