Номер 197, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Сторона основания правильной пирамиды $MABCD$ равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ $AC$ основания параллельно ребру $MD$.

2) Найдите площадь построенного сечения.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно ребру MD.

Пусть $MABCD$ – данная правильная пирамида. В основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$. $M$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). $MO$ – высота пирамиды.

Нам нужно построить сечение плоскостью $\beta$, которая проходит через диагональ $AC$ и параллельна ребру $MD$.

1. Так как плоскость $\beta$ проходит через $AC$, то прямая $AC$ принадлежит этой плоскости.

2. По условию, плоскость $\beta$ параллельна прямой $MD$ ($MD \parallel \beta$).

3. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $MBD$. Эта плоскость содержит прямую $MD$.

4. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $MBD$. По свойству параллельности прямой и плоскости, линия пересечения этих двух плоскостей должна быть параллельна прямой $MD$.

5. Точка $O = AC \cap BD$ является общей точкой для плоскости $\beta$ (так как $AC \subset \beta$) и плоскости $MBD$ (так как $O \in BD$).

6. Проведем в плоскости $MBD$ через точку $O$ прямую, параллельную $MD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $MB$ в точке $K$. Таким образом, $OK \parallel MD$.

7. Поскольку $O$ является серединой диагонали $BD$ (в квадрате диагонали точкой пересечения делятся пополам), а $OK \parallel MD$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) $OK$ является средней линией треугольника $MBD$. Следовательно, точка $K$ – середина ребра $MB$.

8. Соединив точки $A$, $K$ и $C$, получаем искомое сечение – треугольник $AKC$.

Ответ: Искомое сечение – треугольник $AKC$, где $K$ – середина бокового ребра $MB$.

2) Найдите площадь построенного сечения.

Площадь сечения (треугольника $AKC$) можно найти по формуле: $S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KO$. Для использования этой формулы необходимо доказать, что $KO$ является высотой треугольника $AKC$, проведенной к основанию $AC$.

Докажем, что $KO \perp AC$. В правильной пирамиде высота $MO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, значит, $MO \perp AC$. В основании лежит квадрат $ABCD$, его диагонали перпендикулярны: $BD \perp AC$. Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($MO$ и $BD$) в плоскости $MBD$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $MBD$ ($AC \perp (MBD)$). Поскольку прямая $KO$ лежит в плоскости $MBD$ ($K \in MB, O \in BD$), то $AC \perp KO$. Таким образом, $KO$ – высота треугольника $AKC$.

Теперь найдем длины отрезков $AC$ и $KO$.

1. $AC$ – диагональ квадрата $ABCD$ со стороной $a$. Ее длина равна $AC = a\sqrt{2}$.

2. $KO$ является средней линией треугольника $MBD$, поэтому $KO = \frac{1}{2} MD$. Найдем длину бокового ребра $MD$.

3. Угол $\alpha$ между боковым ребром (например, $MD$) и плоскостью основания – это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $MD$ на плоскость $ABCD$ является отрезок $OD$. Следовательно, $\angle MDO = \alpha$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOD$ (где $\angle MOD = 90^\circ$). Катет $OD$ равен половине диагонали $BD$: $OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

5. Из $\triangle MOD$ выразим гипотенузу $MD$: $\cos(\alpha) = \frac{OD}{MD} \Rightarrow MD = \frac{OD}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{2}/2}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\alpha)}$.

6. Теперь найдем длину $KO$: $KO = \frac{1}{2} MD = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{2}}{4\cos(\alpha)}$.

7. Наконец, вычислим площадь сечения $AKC$: $S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{4\cos(\alpha)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{4\cos(\alpha)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a^2}{4\cos(\alpha)} = \frac{a^2}{4\cos(\alpha)}$.

Ответ: $S_{сеч} = \frac{a^2}{4\cos(\alpha)}$.