Номер 201, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 9 см, а острый угол — $60^\circ$. Диагональ этой трапеции перпендикулярна её боковой стороне. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите боковые рёбра пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, боковая сторона $CD = 9$ см, а острый угол при большем основании $∠ADC = 60°$. Диагональ трапеции AC перпендикулярна её боковой стороне CD, следовательно, треугольник ACD является прямоугольным с $∠ACD = 90°$.

1. Анализ основания (трапеции).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. В нем известны катет CD и прилежащий к нему острый угол $∠ADC$. Найдем гипотенузу AD (большее основание трапеции) и катет AC (диагональ трапеции).
$AD = \frac{CD}{\cos(∠ADC)} = \frac{9}{\cos(60°)} = \frac{9}{1/2} = 18$ см.
$AC = CD \cdot \tan(∠ADC) = 9 \cdot \tan(60°) = 9\sqrt{3}$ см.

2. Свойства пирамиды и радиус описанной окружности.
По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60°$. Это означает, что вершина пирамиды (пусть это точка S) проецируется в центр O окружности, описанной около основания ABCD. Проекции боковых ребер на плоскость основания (отрезки OA, OB, OC, OD) равны радиусу R этой описанной окружности.
Найдем радиус R окружности, описанной около трапеции ABCD. Он равен радиусу окружности, описанной около треугольника ACD. По теореме синусов для треугольника ACD:
$\frac{AC}{\sin(∠ADC)} = 2R$
$R = \frac{AC}{2\sin(∠ADC)} = \frac{9\sqrt{3}}{2\sin(60°)} = \frac{9\sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$ см.

3. Нахождение длины бокового ребра.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA, где S - вершина пирамиды, O - ее проекция на основание, A - одна из вершин основания. SA - боковое ребро, OA - его проекция на основание (равная радиусу R), а $∠SAO$ - угол между боковым ребром и плоскостью основания, который равен $60°$.
Из треугольника SOA найдем гипотенузу SA (длину бокового ребра):
$\cos(∠SAO) = \frac{OA}{SA}$
$SA = \frac{OA}{\cos(∠SAO)} = \frac{R}{\cos(60°)} = \frac{9}{1/2} = 18$ см.
Поскольку все боковые ребра пирамиды образуют одинаковый угол с основанием, их длины равны.
Ответ: 18 см.