Номер 208, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. Боковая грань $VMC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AC$ и $BC$ равны $30^\circ$. Найдите ребро $MC$, если $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, $AC = 4\sqrt{3}$ см.

В условии задачи содержится противоречие. С одной стороны, указано, что боковая грань $BMC$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, что означает, что двугранный угол при ребре $BC$ равен $90^\circ$. С другой стороны, дано, что этот же угол равен $30^\circ$. Для решения задачи предположим, что в условии допущена опечатка, и двугранный угол $30^\circ$ относится к ребру $AB$, а не к $BC$.

Итак, будем решать задачу при следующих условиях:
1. Боковая грань $BMC$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.
2. Двугранный угол при ребре $AC$ равен $30^\circ$.
3. Двугранный угол при ребре $AB$ равен $30^\circ$.

1. Анализ основания.
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle ACB = 90^\circ$.
Дано: $\angle BAC = 60^\circ$ и $AC = 4\sqrt{3}$ см.
Найдем остальные элементы треугольника:
$\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Катет $BC$ можно найти через тангенс угла $A$:
$BC = AC \cdot \tan(\angle BAC) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$ см.

2. Положение высоты пирамиды.
Так как плоскость грани $BMC$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, то высота пирамиды $MH$, опущенная из вершины $M$ на плоскость основания, будет лежать в грани $BMC$. Это означает, что основание высоты $H$ лежит на линии пересечения плоскостей, то есть на ребре $BC$. Таким образом, $MH \perp (ABC)$ и $H \in BC$.

3. Использование двугранных углов для определения положения точки H.
а) Двугранный угол при ребре $AC$ равен $30^\circ$.
Линейный угол двугранного угла строится с помощью двух перпендикуляров к ребру, проведенных в гранях из одной точки.В плоскости основания $ABC$ имеем $BC \perp AC$ (так как $\angle ACB = 90^\circ$). Поскольку $H \in BC$, то и $HC \perp AC$.
Рассмотрим наклонную $MC$ и ее проекцию $HC$ на плоскость основания. Так как проекция $HC$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MC$ перпендикулярна $AC$ ($MC \perp AC$).
Следовательно, угол $\angle MCB$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AC$.Значит, $\angle MCB = 30^\circ$.В прямоугольном треугольнике $MHC$ (где $\angle MHC = 90^\circ$):$MH = HC \cdot \tan(\angle MCH) = HC \cdot \tan(30^\circ) = \frac{HC}{\sqrt{3}}$.

б) Двугранный угол при ребре $AB$ равен $30^\circ$.
Для построения линейного угла проведем из точки $H$ перпендикуляр $HK$ к ребру $AB$ ($HK \perp AB$).
Так как $MH$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $HK$ — проекция наклонной $MK$ на эту плоскость, и $HK \perp AB$, то по теореме о трех перпендикулярах $MK \perp AB$.
Следовательно, угол $\angle MKH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$.Значит, $\angle MKH = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $MKH$ (где $\angle MHK = 90^\circ$):$MH = HK \cdot \tan(\angle MKH) = HK \cdot \tan(30^\circ) = \frac{HK}{\sqrt{3}}$.

в) Определение положения точки H.
Из двух выражений для высоты $MH$ следует, что $HC = HK$. То есть, точка $H$ на катете $BC$ равноудалена от вершины $C$ и от гипотенузы $AB$.
Найдем расстояние $HK$. Введем систему координат с началом в точке $C(0, 0)$. Ось $x$ направим вдоль луча $CB$, а ось $y$ — вдоль луча $CA$.Координаты вершин основания: $C(0, 0)$, $B(12, 0)$, $A(0, 4\sqrt{3})$.
Точка $H$ лежит на $BC$, ее координаты $H(x_h, 0)$, где $x_h = HC$.Уравнение прямой $AB$: $\frac{x}{12} + \frac{y}{4\sqrt{3}} = 1$. Умножим на $12\sqrt{3}$: $\sqrt{3}x + 3y - 12\sqrt{3} = 0$.Расстояние $HK$ от точки $H(x_h, 0)$ до прямой $AB$ вычисляется по формуле:$HK = \frac{|\sqrt{3}x_h + 3 \cdot 0 - 12\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}} = \frac{|\sqrt{3}(x_h - 12)|}{\sqrt{3+9}} = \frac{\sqrt{3}|x_h - 12|}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}|x_h - 12|}{2\sqrt{3}} = \frac{|x_h - 12|}{2}$.Так как $H$ лежит на отрезке $BC$, то $0 \le x_h \le 12$, поэтому $x_h - 12 \le 0$, и $|x_h - 12| = 12 - x_h$.$HK = \frac{12 - x_h}{2}$.
Приравниваем $HC$ и $HK$:$x_h = \frac{12 - x_h}{2}$
$2x_h = 12 - x_h$
$3x_h = 12$
$x_h = 4$.Таким образом, $HC = 4$ см.

4. Нахождение ребра MC.
Теперь мы можем найти высоту пирамиды $MH$:$MH = \frac{HC}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.
Искомое ребро $MC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $MHC$. По теореме Пифагора:$MC^2 = MH^2 + HC^2$
$MC^2 = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 + 4^2 = \frac{16}{3} + 16 = \frac{16 + 48}{3} = \frac{64}{3}$
$MC = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.