Номер 9, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

9. Через точку $A$ проведены две прямые, пересекающие каждую из прямых $a$ и $b$ в точках, отличных от точки $A$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.

Пусть через точку $A$ проведены две различные прямые, которые мы обозначим как $c_1$ и $c_2$. По условию, эти прямые пересекаются в точке $A$. Согласно основной аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту единственную плоскость греческой буквой $\alpha$. Таким образом, обе прямые, $c_1$ и $c_2$, лежат в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим прямую $a$. По условию, прямая $c_1$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке $A_1$, а прямая $c_2$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке $A_2$. При этом $A_1 \neq A$ и $A_2 \neq A$. Точки $A_1$ и $A_2$ различны. В самом деле, если бы они совпадали ($A_1 = A_2$), то две различные прямые $c_1$ и $c_2$ имели бы две общие точки: $A$ и $A_1$. Это невозможно, так как через две точки проходит только одна прямая. Следовательно, $A_1 \neq A_2$.

Поскольку точка $A_1$ лежит на прямой $c_1$, а прямая $c_1$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то точка $A_1$ принадлежит плоскости $\alpha$. Аналогично, точка $A_2$ лежит на прямой $c_2$ и, следовательно, также принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, две различные точки $A_1$ и $A_2$ прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в данной плоскости. Отсюда следует, что прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Проведем абсолютно аналогичные рассуждения для прямой $b$. Пусть прямая $c_1$ пересекает прямую $b$ в точке $B_1$, а прямая $c_2$ пересекает прямую $b$ в точке $B_2$. Точки $B_1$ и $B_2$ различны ($B_1 \neq B_2$) и обе принадлежат плоскости $\alpha$, так как лежат на прямых $c_1$ и $c_2$ соответственно. Так как две точки прямой $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $b$ лежит в этой плоскости.

В итоге мы установили, что обе прямые, $a$ и $b$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.