Номер 15, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Дана призма $ABC A_1 B_1 C_1$ (рис. 36). Точка $D$ принадлежит прямой $BB_1$, точка $E$ — ребру $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью $A_1 DE$.

Рис. 36

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $A_1DE$ необходимо последовательно найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы, а затем соединить их. Построение будем выполнять методом следов.

1. Построение в плоскости грани $BCC_1B_1$

Точки $D$ и $E$ принадлежат секущей плоскости $A_1DE$. Они также лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$ (точка $D$ находится на прямой $BB_1$, а точка $E$ — на ребре $BC$). Следовательно, прямая $DE$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью грани $BCC_1B_1$. Проведем прямую через точки $D$ и $E$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке $F$. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах призмы и принадлежат секущей плоскости. Таким образом, отрезок $EF$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Построение в плоскости грани $ABB_1A_1$

Аналогично, точки $A_1$ и $D$ принадлежат секущей плоскости $A_1DE$ и лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$ (точка $A_1$ — вершина призмы, а точка $D$ находится на прямой $BB_1$). Следовательно, прямая $A_1D$ является следом секущей плоскости на плоскости грани $ABB_1A_1$. Проведем прямую через точки $A_1$ и $D$. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке $K$. Точки $A_1$ и $K$ лежат на ребрах призмы и принадлежат секущей плоскости. Таким образом, отрезок $A_1K$ является еще одной стороной сечения.

3. Построение в плоскости основания $ABC$

В результате предыдущих шагов мы получили точки $K$ и $E$, которые принадлежат сечению. Точка $K$ лежит на ребре $AB$, а точка $E$ — на ребре $BC$. Обе эти точки лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Соединим точки $K$ и $E$ отрезком. Отрезок $KE$ — это сторона сечения, лежащая в плоскости основания призмы.

4. Завершение построения

На данный момент у нас есть три стороны сечения: $A_1K$, $KE$ и $EF$. Для завершения построения необходимо соединить точки $A_1$ и $F$. Обе эти точки принадлежат секущей плоскости. Точка $A_1$ является вершиной призмы, а точка $F$ лежит на ребре $CC_1$. Обе точки лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$. Соединим их отрезком. Отрезок $A_1F$ — это последняя, замыкающая, сторона сечения.

В результате мы получили четырехугольник $A_1KEF$, который является искомым сечением призмы плоскостью $A_1DE$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $A_1KEF$, где точка $K$ — это точка пересечения прямой $A_1D$ с ребром $AB$ ($K = A_1D \cap AB$), а точка $F$ — это точка пересечения прямой $DE$ с ребром $CC_1$ ($F = DE \cap CC_1$).