Страница 35 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 35). Точка $M$ принадлежит ребру $A_1B_1$, точка $K$ — ребру $BB_1$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 35

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ воспользуемся методом вспомогательной плоскости. Идея состоит в том, чтобы заключить прямую $MK$ в некоторую плоскость и затем найти линию пересечения этой плоскости с плоскостью $ABC$. Искомая точка будет лежать на этой линии.

Построение и обоснование

1. Найдём плоскость, в которой лежит прямая $MK$. Точка $M$ принадлежит ребру $A_1B_1$, которое является частью плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Точка $K$ принадлежит ребру $BB_1$, которое также является частью плоскости $ABB_1A_1$. Поскольку обе точки, $M$ и $K$, лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$, то и вся прямая $MK$ целиком лежит в этой плоскости. Обозначим эту плоскость $(ABB_1A_1)$.

2. Теперь найдём линию пересечения вспомогательной плоскости $(ABB_1A_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Эти две плоскости имеют общие точки $A$ и $B$, следовательно, они пересекаются по прямой $AB$.

3. Обозначим искомую точку пересечения прямой $MK$ и плоскости $(ABC)$ как $P$. По определению, точка $P$ должна удовлетворять двум условиям: $P \in MK$ и $P \in (ABC)$.

4. Из того, что $P \in MK$ и $MK \subset (ABB_1A_1)$, следует, что $P \in (ABB_1A_1)$. Таким образом, точка $P$ принадлежит одновременно двум плоскостям: $(ABC)$ и $(ABB_1A_1)$. Это означает, что точка $P$ должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $AB$.

5. Мы пришли к выводу, что искомая точка $P$ является общей точкой для двух прямых: $MK$ и $AB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ABB_1A_1)$. Они не параллельны, так как если бы $MK || AB$, то $MK$ должна была бы быть параллельна и $A_1B_1$ (поскольку $AB || A_1B_1$ в призме), но прямая $MK$ пересекает $A_1B_1$ в точке $M$. Следовательно, прямые $MK$ и $AB$ пересекаются в одной единственной точке.

6. Алгоритм построения: Проводим прямую через точки $M$ и $K$ и прямую через точки $A$ и $B$. Точка, в которой эти две прямые пересекаются, и является искомой точкой пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $AB$.

15. Дана призма $ABC A_1 B_1 C_1$ (рис. 36). Точка $D$ принадлежит прямой $BB_1$, точка $E$ — ребру $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью $A_1 DE$.

Рис. 36

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $A_1DE$ необходимо последовательно найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы, а затем соединить их. Построение будем выполнять методом следов.

1. Построение в плоскости грани $BCC_1B_1$

Точки $D$ и $E$ принадлежат секущей плоскости $A_1DE$. Они также лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$ (точка $D$ находится на прямой $BB_1$, а точка $E$ — на ребре $BC$). Следовательно, прямая $DE$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью грани $BCC_1B_1$. Проведем прямую через точки $D$ и $E$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке $F$. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах призмы и принадлежат секущей плоскости. Таким образом, отрезок $EF$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Построение в плоскости грани $ABB_1A_1$

Аналогично, точки $A_1$ и $D$ принадлежат секущей плоскости $A_1DE$ и лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$ (точка $A_1$ — вершина призмы, а точка $D$ находится на прямой $BB_1$). Следовательно, прямая $A_1D$ является следом секущей плоскости на плоскости грани $ABB_1A_1$. Проведем прямую через точки $A_1$ и $D$. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке $K$. Точки $A_1$ и $K$ лежат на ребрах призмы и принадлежат секущей плоскости. Таким образом, отрезок $A_1K$ является еще одной стороной сечения.

3. Построение в плоскости основания $ABC$

В результате предыдущих шагов мы получили точки $K$ и $E$, которые принадлежат сечению. Точка $K$ лежит на ребре $AB$, а точка $E$ — на ребре $BC$. Обе эти точки лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Соединим точки $K$ и $E$ отрезком. Отрезок $KE$ — это сторона сечения, лежащая в плоскости основания призмы.

4. Завершение построения

На данный момент у нас есть три стороны сечения: $A_1K$, $KE$ и $EF$. Для завершения построения необходимо соединить точки $A_1$ и $F$. Обе эти точки принадлежат секущей плоскости. Точка $A_1$ является вершиной призмы, а точка $F$ лежит на ребре $CC_1$. Обе точки лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$. Соединим их отрезком. Отрезок $A_1F$ — это последняя, замыкающая, сторона сечения.

В результате мы получили четырехугольник $A_1KEF$, который является искомым сечением призмы плоскостью $A_1DE$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $A_1KEF$, где точка $K$ — это точка пересечения прямой $A_1D$ с ребром $AB$ ($K = A_1D \cap AB$), а точка $F$ — это точка пересечения прямой $DE$ с ребром $CC_1$ ($F = DE \cap CC_1$).

16. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 37) плоскостью, которая проходит через точки $T, F$ и $E$, принадлежащие рёбрам $SA, AB$ и $BC$ соответственно.

Рис. 37

Для построения искомого сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки T, F и E, выполним следующие шаги, используя метод следов.

1. Точки T и F лежат в плоскости одной грани SAB (по условию $T \in SA$, $F \in AB$). Соединим их отрезком TF. Отрезок TF является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью SAB.

2. Точки F и E лежат в плоскости основания ABC (по условию $F \in AB$, $E \in BC$). Соединим их отрезком FE. Отрезок FE является следом секущей плоскости на плоскости основания ABC.

3. Теперь необходимо найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами SC и AC. Для этого найдем след секущей плоскости на грани SAC. Прямая FE лежит в секущей плоскости. Также она лежит в плоскости основания ABC. Прямая AC также лежит в плоскости основания ABC. В общем случае эти прямые не параллельны и, следовательно, пересекаются. Продлим отрезки FE и AC до их пересечения в точке P.
$P = (FE) \cap (AC)$
Построенная точка P принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой FE) и плоскости грани SAC (так как лежит на прямой AC).

4. Теперь у нас есть две точки, T и P, которые принадлежат одновременно и секущей плоскости, и плоскости грани SAC. Проведем через них прямую TP. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости грани SAC.

5. Прямая TP, лежащая в плоскости грани SAC, пересекает ребро SC этой грани в некоторой точке. Обозначим эту точку G.
$G = (TP) \cap SC$
Точка G является четвертой вершиной искомого сечения.

6. Соединим точку G с точкой E. Обе эти точки ($G \in SC$, $E \in BC$) лежат в плоскости грани SBC, поэтому отрезок GE является линией пересечения секущей плоскости с гранью SBC. В результате последовательного соединения точек T, F, E и G мы получаем замкнутый четырехугольник TFEG, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник TFEG.

17. Постройте сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 38) плоскостью, проходящей через точку $C$ и точки $P$ и $M$, которые лежат на рёбрах $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно.

Рис. 38

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $C$, $P$ (где $P$ лежит на ребре $BB_1$) и $M$ (где $M$ лежит на ребре $A_1B_1$), будем последовательно находить линии пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

1. Соединим точки $C$ и $P$. Так как обе точки лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, отрезок $PC$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения.

2. Соединим точки $P$ и $M$. Так как точка $P$ лежит на ребре $BB_1$, а точка $M$ — на ребре $A_1B_1$, обе точки принадлежат плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Отрезок $PM$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и второй стороной сечения.

3. Теперь необходимо найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. У нас уже есть одна точка, принадлежащая этой линии — точка $M$. Для нахождения второй точки найдем точку пересечения прямой $CP$, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью $(A_1B_1C_1)$.

4. Прямая $CP$ лежит в плоскости грани $(BCC_1B_1)$. Плоскость $(A_1B_1C_1)$ пересекается с плоскостью $(BCC_1B_1)$ по прямой $B_1C_1$. Следовательно, точка пересечения прямой $CP$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ — это точка пересечения прямых $CP$ и $B_1C_1$. Для ее нахождения продлим отрезки $CP$ и $B_1C_1$ до их пересечения и обозначим полученную точку $Y$.

5. Поскольку точки $M$ и $Y$ принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости $(A_1B_1C_1)$, прямая $MY$ является их линией пересечения (следом секущей плоскости на плоскости верхнего основания). Проведем прямую $MY$. Она пересекает ребро $A_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим ее $N$. Тогда отрезок $MN$ — это сторона сечения, лежащая на верхней грани $A_1B_1C_1$.

6. Соединим точку $N$ на ребре $A_1C_1$ и точку $C$. Обе эти точки лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$. Отрезок $NC$ является последней стороной искомого сечения.

7. В результате мы получили замкнутый многоугольник — четырехугольник $CPMN$. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $CPMN$. Его вершины: заданная точка $C$, заданная точка $P$ на ребре $BB_1$, заданная точка $M$ на ребре $A_1B_1$ и построенная точка $N$ на ребре $A_1C_1$. Точка $N$ является точкой пересечения прямой $A_1C_1$ с прямой $MY$, где $Y$ — точка пересечения прямых $CP$ и $B_1C_1$.