Страница 37 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. На отрезке $CD$, который не пересекает плоскость $\beta$, отметили точку $E$. Через точки $C$, $D$ и $E$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $C_1$, $D_1$ и $E_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $CE$, если $ED = 18$ см, $C_1E_1 = 16$ см, $E_1D_1 = 24$ см.

1) Докажите, что точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой.

По условию, прямые $CC_1$, $DD_1$ и $EE_1$ параллельны. Через две параллельные прямые $CC_1$ и $DD_1$ проходит единственная плоскость, назовем ее $\gamma$.

Так как точка $C$ лежит на прямой $CC_1$, а точка $D$ — на прямой $DD_1$, то обе эти точки принадлежат плоскости $\gamma$. Следовательно, вся прямая $CD$, содержащая эти точки, также лежит в плоскости $\gamma$.

По условию, точка $E$ принадлежит отрезку $CD$, а значит, точка $E$ также лежит в плоскости $\gamma$.

Прямая $EE_1$ проходит через точку $E$ плоскости $\gamma$ и параллельна прямой $CC_1$, которая также лежит в плоскости $\gamma$. Отсюда следует, что вся прямая $EE_1$ лежит в плоскости $\gamma$.

Таким образом, все три параллельные прямые $CC_1$, $DD_1$ и $EE_1$ лежат в одной плоскости $\gamma$.

Точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ являются точками пересечения этих прямых с плоскостью $\beta$. Это означает, что точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ одновременно принадлежат и плоскости $\gamma$, и плоскости $\beta$.

Линией пересечения двух различных плоскостей является прямая. Следовательно, точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на линии пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$, то есть на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Найдите отрезок $CE$, если $ED = 18$ см, $C_1E_1 = 16$ см, $E_1D_1 = 24$ см.

Как было доказано в пункте 1, прямые $CD$ и $C_1D_1$ пересекаются тремя параллельными прямыми $CC_1$, $EE_1$ и $DD_1$. В этом случае можно применить обобщенную теорему Фалеса (теорему о пропорциональных отрезках).

Согласно этой теореме, параллельные прямые отсекают на секущих прямых пропорциональные отрезки. Это означает, что отношение отрезков на прямой $CD$ равно отношению соответствующих отрезков на прямой $C_1D_1$.

Запишем это утверждение в виде пропорции:

$\frac{CE}{ED} = \frac{C_1E_1}{E_1D_1}$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи:

$ED = 18$ см

$C_1E_1 = 16$ см

$E_1D_1 = 24$ см

Получим следующее уравнение:

$\frac{CE}{18} = \frac{16}{24}$

Упростим дробь в правой части равенства, сократив ее на 8:

$\frac{16}{24} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{2}{3}$

Теперь решим получившееся уравнение:

$\frac{CE}{18} = \frac{2}{3}$

Выразим $CE$:

$CE = 18 \cdot \frac{2}{3} = \frac{18 \cdot 2}{3} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: $CE = 12$ см.

25. Треугольник $ABC$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Точки $M$ и $N$ — середины соответственно отрезков $AB$ и $AC$ (рис. 41). Через точки $A$, $B$, $C$, $M$ и $N$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, $M_1$, и $N_1$ соответственно. Найдите отрезок $NN_1$, если $BB_1 = 11$ см, $CC_1 = 7$ см, $MM_1 = 10$ см.

Рис. 41

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $MM_1$, $NN_1$ параллельны по условию, то через любые две из них проходит плоскость. Таким образом, фигуры $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ являются трапециями, основаниями которых являются отрезки, соединяющие точки на параллельных прямых.

Рассмотрим трапецию $ABB_1A_1$. По условию, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Так как прямая $MM_1$ параллельна основаниям $AA_1$ и $BB_1$, то отрезок $MM_1$ является средней линией этой трапеции. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований:

$MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим известные значения $MM_1 = 10$ см и $BB_1 = 11$ см, и найдем длину отрезка $AA_1$:

$10 = \frac{AA_1 + 11}{2}$

$20 = AA_1 + 11$

$AA_1 = 20 - 11 = 9$ см.

Теперь рассмотрим трапецию $ACC_1A_1$. По условию, точка $N$ — середина боковой стороны $AC$. Аналогично, отрезок $NN_1$ является средней линией этой трапеции. Его длина также равна полусумме длин оснований:

$NN_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

Подставим найденное значение $AA_1 = 9$ см и известное из условия значение $CC_1 = 7$ см:

$NN_1 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

26. Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$ (рис. 42).

Плоскостям каких граней куба параллельна прямая $AA_1$?

Рис. 42

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Рассмотрим прямую $AA_1$ и все шесть граней куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Грани, содержащие прямую $AA_1$. Прямая $AA_1$ является ребром граней $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$. Это означает, что прямая $AA_1$ лежит в плоскостях этих граней и, следовательно, не может быть им параллельна.

2. Грани, пересекаемые прямой $AA_1$. Прямая $AA_1$ пересекает плоскость грани $ABCD$ в точке $A$ и плоскость грани $A_1B_1C_1D_1$ в точке $A_1$. Так как существуют точки пересечения, прямая $AA_1$ не параллельна этим граням.

3. Грани, параллельные прямой $AA_1$.

• Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Прямая $AA_1$ не лежит в плоскости этой грани. Ребро $BB_1$ лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$. В кубе все боковые ребра параллельны, значит $AA_1 \parallel BB_1$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ параллельна плоскости грани $BCC_1B_1$.
• Рассмотрим грань $DCC_1D_1$. Прямая $AA_1$ не лежит в плоскости этой грани. Ребро $DD_1$ лежит в плоскости грани $DCC_1D_1$. Так как $AA_1 \parallel DD_1$, то по тому же признаку прямая $AA_1$ параллельна плоскости грани $DCC_1D_1$.

Таким образом, прямая $AA_1$ параллельна двум граням куба.

Ответ: плоскостям граней $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$.

27. Через точку $A$, не принадлежащую плоскости $\alpha$, проведена прямая $a$, параллельная плоскости $\alpha$. Сколько существует в плоскости $\alpha$ прямых, параллельных прямой $a$?

По условию задачи дана плоскость $\alpha$, точка $A$, не принадлежащая этой плоскоosti ($A \notin \alpha$), и прямая $a$, проходящая через точку $A$ и параллельная плоскости $\alpha$ ($A \in a$, $a \parallel \alpha$). Требуется определить, сколько прямых, параллельных прямой $a$, существует в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим любую точку $B$, принадлежащую плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$). Через прямую $a$ и точку $B$, не лежащую на этой прямой (поскольку $a \parallel \alpha$, а $B \in \alpha$), проходит единственная плоскость, назовем ее $\beta$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $B$, они пересекаются по некоторой прямой $b$. Прямая $b$ проходит через точку $B$ и целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Согласно теореме о параллельности прямой и плоскости: если плоскость ($\beta$) проходит через данную прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей ($b$) параллельна данной прямой ($a$).

Следовательно, для нашей прямой пересечения $b$ выполняется условие $b \parallel a$.

Мы доказали, что для любой произвольно выбранной точки $B$ в плоскости $\alpha$ существует прямая $b$, лежащая в плоскости $\alpha$ и параллельная прямой $a$.

Поскольку в плоскости $\alpha$ существует бесконечное множество точек, для каждой из них можно построить соответствующую прямую, параллельную прямой $a$. Все эти прямые будут различны, так как они проходят через разные точки и параллельны друг другу. Таким образом, в плоскости $\alpha$ существует бесконечное множество прямых, параллельных прямой $a$.

Ответ: Бесконечно много.

28. Отрезок $AB$ лежит в плоскости $\alpha$. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Точки $K$ и $P$ — середины отрезков $MA$ и $MB$ соответственно. Докажите, что прямая $KP$ параллельна плоскости $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAB$. Он существует, так как по условию точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, а точки $A$ и $B$ лежат в этой плоскости, следовательно, точки $M, A, B$ не лежат на одной прямой.

По условию задачи, точка $K$ является серединой отрезка $MA$, а точка $P$ — серединой отрезка $MB$.

Следовательно, по определению, отрезок $KP$ является средней линией треугольника $\triangle MAB$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Таким образом, прямая $KP$ параллельна прямой $AB$, что можно записать как $KP \parallel AB$.

Из условия известно, что отрезок $AB$ лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что и вся прямая $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$, то есть $AB \subset \alpha$.

Теперь применим признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

В нашем случае все условия этого признака выполнены:

• Прямая $KP$ не лежит в плоскости $\alpha$ (поскольку точка $M \notin \alpha$, то и середины отрезков $MA$ и $MB$ не лежат в плоскости $\alpha$).
• Прямая $KP$ параллельна прямой $AB$ ($KP \parallel AB$).
• Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$).

Из этого следует, что прямая $KP$ параллельна плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $KP$ параллельна плоскости $\alpha$.