Номер 189, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 9 см, а высота – 6 см.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Обозначим ее высоту как $H$, боковое ребро как $l$, сторону основания как $a$, и апофему (высоту боковой грани) как $h_a$. По условию, боковое ребро $l = 9$ см и высота $H = 6$ см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ – периметр основания. Для правильной треугольной пирамиды периметр основания $P = 3a$. Таким образом, формула для площади боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{3}{2} a \cdot h_a$. Для решения задачи нам необходимо найти длину стороны основания $a$ и длину апофемы $h_a$.

1. Нахождение стороны основания $a$

В правильной пирамиде высота ($H$) опускается из вершины в центр основания. Для правильного треугольника центром является точка пересечения медиан, которая делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Отрезок, соединяющий центр основания с вершиной треугольника, является радиусом описанной окружности ($R$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ и радиусом $R$ описанной около основания окружности. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами, а $l$ – гипотенузой.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.

Подставим известные значения, чтобы найти $R$:

$9^2 = 6^2 + R^2$

$81 = 36 + R^2$

$R^2 = 81 - 36 = 45$

$R = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ связан формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Выразим из нее сторону $a$:

$a = R \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{15}$ см.

2. Нахождение апофемы $h_a$

Апофема $h_a$ является высотой боковой грани. Ее можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и радиусом вписанной в основание окружности $r$. В этом треугольнике $H$ и $r$ являются катетами, а $h_a$ – гипотенузой.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r$ в два раза меньше радиуса описанной окружности $R$: $r = \frac{R}{2}$.

$r = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем апофему $h_a$:

$h_a^2 = H^2 + r^2$

$h_a^2 = 6^2 + \left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 36 + \frac{9 \cdot 5}{4} = 36 + \frac{45}{4}$

$h_a^2 = \frac{144}{4} + \frac{45}{4} = \frac{189}{4}$

$h_a = \sqrt{\frac{189}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 21}}{2} = \frac{3\sqrt{21}}{2}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности

Теперь, когда мы знаем сторону основания $a = 3\sqrt{15}$ см и апофему $h_a = \frac{3\sqrt{21}}{2}$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности по формуле $S_{бок} = \frac{3}{2} a \cdot h_a$.

$S_{бок} = \frac{3}{2} \cdot 3\sqrt{15} \cdot \frac{3\sqrt{21}}{2} = \frac{27}{4} \sqrt{15 \cdot 21}$

Разложим подкоренное выражение на множители для упрощения: $15 \cdot 21 = (3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7) = 9 \cdot 35$.

$S_{бок} = \frac{27}{4} \sqrt{9 \cdot 35} = \frac{27}{4} \cdot 3\sqrt{35} = \frac{81\sqrt{35}}{4}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{81\sqrt{35}}{4}$ см$^2$.