Номер 95, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Через середину хорды $AB$ окружности радиусом 5 см проведена прямая $n$, перпендикулярная плоскости окружности. Найдите расстояние между прямой $n$ и диаметром $BC$, если $AC = 8$ см.

Пусть $\alpha$ - плоскость окружности. По условию, прямая $n$ проходит через точку $M$ (середину хорды $AB$) и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Диаметр $BC$ лежит в этой же плоскости $\alpha$.

Прямые $n$ и $BC$ являются скрещивающимися. Поскольку прямая $n$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, в которой лежит прямая $BC$, расстояние между этими прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из точки пересечения прямой $n$ и плоскости $\alpha$ на прямую $BC$. Точкой пересечения является $M$. Следовательно, искомое расстояние - это длина перпендикуляра $MH$, проведенного из точки $M$ к прямой $BC$.

Все дальнейшие вычисления проведем в плоскости $\alpha$.

Точки $A, B, C$ лежат на окружности. Так как $BC$ - диаметр, вписанный угол $\angle BAC$, опирающийся на этот диаметр, является прямым ($90^\circ$). Таким образом, $\triangle ABC$ - прямоугольный с гипотенузой $BC$.

Радиус окружности $R=5$ см, следовательно, диаметр $BC = 2R = 10$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $AB^2 + AC^2 = BC^2$. Подставим известные значения $AC = 8$ см и $BC = 10$ см: $AB^2 + 8^2 = 10^2$ $AB^2 + 64 = 100$ $AB^2 = 36$ $AB = \sqrt{36} = 6$ см.

Точка $M$ является серединой хорды $AB$, поэтому $BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Для нахождения длины $MH$ проведем высоту $AK$ из вершины $A$ на гипотенузу $BC$. Так как $MH \perp BC$ и $AK \perp BC$, то прямые $MH$ и $AK$ параллельны ($MH \parallel AK$).

Рассмотрим $\triangle ABK$. Из подобия треугольников $\triangle BMH$ и $\triangle BAK$ (по общему углу $\angle B$ и прямым углам $\angle BHM$ и $\angle BKA$) следует: $\frac{MH}{AK} = \frac{BM}{BA}$ $\frac{MH}{AK} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ Отсюда $MH = \frac{1}{2} AK$.

Длину высоты $AK$ найдем через площадь $\triangle ABC$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а также половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см². $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AK = 5 \cdot AK$. Приравнивая два выражения для площади, получаем: $5 \cdot AK = 24 \implies AK = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

Теперь можем найти искомое расстояние $MH$: $MH = \frac{1}{2} \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 4,8 = 2,4$ см.

Ответ: 2,4 см.