Номер 92, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

92. На рисунке 59 изображён куб с ребром $a$. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Рис. 59

Для решения задачи определим взаимное расположение прямых AB и CD в пространстве, исходя из изображения куба с ребром $a$. Точки A, B, C лежат в одной грани куба (будем считать ее нижней). AC и CB можно интерпретировать как смежные ребра этой грани, которые сходятся под прямым углом в вершине C. В этом случае прямая AB является диагональю этой квадратной грани. Точка D расположена над точкой C, таким образом, CD является ребром куба, перпендикулярным нижней грани.

Прямые AB и CD не лежат в одной плоскости и не параллельны, следовательно, они являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Найдем этот общий перпендикуляр. Обозначим плоскость нижнего основания, в которой лежат точки A, B и C, как $\pi$. Поскольку ребро CD перпендикулярно нижней грани, прямая CD перпендикулярна плоскости $\pi$. Это означает, что прямая CD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим перпендикуляр $CH$, опущенный из точки C на прямую AB в плоскости $\pi$. Так как отрезок $CH$ полностью лежит в плоскости $\pi$, он перпендикулярен прямой CD. По построению, $CH$ также перпендикулярен прямой AB. Следовательно, отрезок $CH$ является общим перпендикуляром к прямым AB и CD, а его длина — искомое расстояние.

Теперь задача сводится к вычислению длины высоты $CH$ в треугольнике ACB. Этот треугольник является прямоугольным (угол $\angle ACB = 90^\circ$) и равнобедренным, так как его катеты $AC$ и $CB$ равны ребру куба $a$. Гипотенуза $AB$ является диагональю грани. Найдем ее длину по теореме Пифагора:$AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Длину высоты $CH$, проведенной к гипотенузе, можно найти, приравняв два выражения для площади треугольника ACB:
1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$
2. Через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{2}) \cdot CH$

Приравняем площади:$\frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot CH$$a^2 = a\sqrt{2} \cdot CH$$CH = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$CH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, расстояние между прямыми AB и CD равно длине отрезка $CH$.
Ответ: $ \frac{a\sqrt{2}}{2} $