Номер 91, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91.Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Точки $ M $ и $ N $ принадлежат плоскости $ \alpha $, точки $ K $ и $ P $ — плоскости $ \beta $, $ MK = 10 $ см, $ NP = 17 $ см. Найдите расстояние между плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $, если сумма проекций отрезков $ MK $ и $ NP $ на плоскость $ \alpha $ равна 21 см.

Пусть $h$ — искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим отрезок $MK$. Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $K$ — в плоскости $\beta$. Проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$ является сама точка $M$. Пусть $K'$ — проекция точки $K$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $KK'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию между плоскостями, то есть $KK' = h$.

Проекцией отрезка $MK$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $MK'$. Треугольник $MKK'$ — прямоугольный с гипотенузой $MK$ и катетами $MK'$ и $KK'$. По теореме Пифагора:

$MK^2 = MK'^2 + KK'^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = MK'^2 + h^2$

$100 = MK'^2 + h^2$

Отсюда длина проекции $MK'$ равна:

$MK' = \sqrt{100 - h^2}$

Аналогично рассмотрим отрезок $NP$. Точка $N$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $P$ — в плоскости $\beta$. Проекцией точки $N$ на плоскость $\alpha$ является сама точка $N$. Пусть $P'$ — проекция точки $P$ на плоскость $\alpha$. Тогда $PP' = h$.

Проекцией отрезка $NP$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $NP'$. Треугольник $NPP'$ — прямоугольный с гипотенузой $NP$. По теореме Пифагора:

$NP^2 = NP'^2 + PP'^2$

Подставим известные значения:

$17^2 = NP'^2 + h^2$

$289 = NP'^2 + h^2$

Отсюда длина проекции $NP'$ равна:

$NP' = \sqrt{289 - h^2}$

По условию задачи, сумма длин проекций отрезков $MK$ и $NP$ на плоскость $\alpha$ равна 21 см:

$MK' + NP' = 21$

Подставим полученные выражения для длин проекций в это уравнение:

$\sqrt{100 - h^2} + \sqrt{289 - h^2} = 21$

Решим это иррациональное уравнение. Перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{289 - h^2} = 21 - \sqrt{100 - h^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{289 - h^2})^2 = (21 - \sqrt{100 - h^2})^2$

$289 - h^2 = 21^2 - 2 \cdot 21 \cdot \sqrt{100 - h^2} + (\sqrt{100 - h^2})^2$

$289 - h^2 = 441 - 42\sqrt{100 - h^2} + 100 - h^2$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-h^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:

$289 = 541 - 42\sqrt{100 - h^2}$

Выразим член с корнем:

$42\sqrt{100 - h^2} = 541 - 289$

$42\sqrt{100 - h^2} = 252$

Разделим обе части на 42:

$\sqrt{100 - h^2} = \frac{252}{42}$

$\sqrt{100 - h^2} = 6$

Снова возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$100 - h^2 = 36$

Найдем $h^2$:

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

Так как $h$ — это расстояние, оно не может быть отрицательным, поэтому:

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.