gdz.top
Номер 68, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 2. Перпендикулярность прямой и плоскости - номер 68, страница 43.
№67
№68 (с. 43)
Условие. №68 (с. 43)
Перпендикулярность прямой и плоскости
68. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведена прямая $BD$, перпендикулярная плоскости $ABC$ (рис. 53). Точка $M$ — середина отрезка $AC$. Найдите отрезок $DM$, если $AB = BC = 17$ см, $AC = 30$ см, $DB = 4\sqrt{5}$ см.
Рис. 53
Решение. №68 (с. 43)
Решение 2. №68 (с. 43)
Поскольку по условию прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости $ABC$ и проходит через точку $B$, следовательно, $BD \perp BM$. Это означает, что треугольник $DBM$ является прямоугольным, где $\angle DBM = 90^\circ$.
Для нахождения длины гипотенузы $DM$ в прямоугольном треугольнике $DBM$ воспользуемся теоремой Пифагора: $DM^2 = DB^2 + BM^2$.
Длина катета $DB$ дана в условии: $DB = 4\sqrt{5}$ см. Необходимо найти длину катета $BM$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Из условия известно, что $AB = BC = 17$ см, следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$, значит, $BM$ — медиана, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $BM \perp AC$, и треугольник $BMA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.
Найдем длину катета $AM$. Так как $M$ — середина $AC$, то:
$AM = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.
Теперь найдем длину катета $BM$ из прямоугольного треугольника $BMA$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$BM^2 = AB^2 - AM^2$
$BM^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
$BM = \sqrt{64} = 8$ см.
Вернемся к прямоугольному треугольнику $DBM$. Мы нашли длины обоих катетов: $DB = 4\sqrt{5}$ см и $BM = 8$ см. Теперь можем найти длину гипотенузы $DM$:
$DM^2 = DB^2 + BM^2$
$DM^2 = (4\sqrt{5})^2 + 8^2 = (16 \cdot 5) + 64 = 80 + 64 = 144$
$DM = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: 12 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 68 расположенного на странице 43 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №68 (с. 43), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.