Номер 63, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Угол между прямыми в пространстве

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 51). Найдите угол между прямыми:

1) $AB_1$ и $AD_1$;

2) $AD$ и $BB_1$;

3) $AD_1$ и $BC_1$;

4) $AD_1$ и $BC$;

5) $AB_1$ и $CC_1$.

Рис. 51

1) AB₁ и AD₁
Прямые $AB_1$ и $AD_1$ являются диагоналями граней куба $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ соответственно. Они выходят из одной вершины A, поэтому угол между ними — это угол $\angle B_1AD_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Его стороны: $AB_1$, $AD_1$ и $B_1D_1$.
Пусть ребро куба равно $a$. Тогда длины сторон треугольника, как диагонали граней куба, равны:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
$AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
$B_1D_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
Так как все стороны треугольника $\triangle AB_1D_1$ равны ($AB_1 = AD_1 = B_1D_1$), то этот треугольник является равносторонним. Углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

2) AD и BB₁
Прямые $AD$ и $BB_1$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным.
Ребро $BB_1$ параллельно ребру $AA_1$ ($BB_1 \parallel AA_1$). Поэтому угол между прямыми $AD$ и $BB_1$ равен углу между прямыми $AD$ и $AA_1$.
Ребра $AD$ и $AA_1$ выходят из одной вершины A и лежат в одной грани $ADD_1A_1$, которая является квадратом. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

3) AD₁ и BC₁
Прямые $AD_1$ и $BC_1$ являются диагоналями противоположных граней куба $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$.
Вектор $\vec{BC_1}$ можно получить, выполнив параллельный перенос вектора $\vec{AD_1}$ на вектор $\vec{AB}$. Поскольку при параллельном переносе вектор не меняется, $\vec{AD_1} = \vec{BC_1}$. Это означает, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны ($AD_1 \parallel BC_1$).
Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.

4) AD₁ и BC
Прямые $AD_1$ и $BC$ являются скрещивающимися.
Ребро $BC$ параллельно ребру $AD$ ($BC \parallel AD$), так как $ABCD$ — квадрат. Поэтому угол между прямыми $AD_1$ и $BC$ равен углу между прямыми $AD_1$ и $AD$.
Эти прямые лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$ и пересекаются в точке A. Угол между ними — это угол $\angle DAD_1$.
Треугольник $\triangle ADD_1$ является прямоугольным ($\angle D_1DA = 90^\circ$) и равнобедренным, так как катеты $AD$ и $DD_1$ — ребра куба ($AD = DD_1$). Следовательно, острые углы в этом треугольнике равны $45^\circ$. Таким образом, $\angle DAD_1 = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

5) AB₁ и CC₁
Прямые $AB_1$ и $CC_1$ являются скрещивающимися.
Ребро $CC_1$ параллельно ребру $BB_1$ ($CC_1 \parallel BB_1$), так как $BCC_1B_1$ — квадрат. Поэтому угол между прямыми $AB_1$ и $CC_1$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $BB_1$.
Эти прямые лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$ и пересекаются в точке $B_1$. Угол между ними — это угол $\angle AB_1B$.
Треугольник $\triangle ABB_1$ является прямоугольным ($\angle ABB_1 = 90^\circ$) и равнобедренным, так как катеты $AB$ и $BB_1$ — ребра куба ($AB = BB_1$). Следовательно, острые углы в этом треугольнике равны $45^\circ$. Таким образом, $\angle AB_1B = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.