Номер 54, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. На рисунке 48 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, на ребре $CC_1$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного куба при симметрии относительно:

1) вершины $A_1$;

2) точки $M$.

Рис. 48

Центральная симметрия относительно точки (центра симметрии) — это преобразование пространства, при котором каждая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $PP'$. Образом любой фигуры при центральной симметрии является конгруэнтная (равная) ей фигура. Образом куба будет куб с той же длиной ребра.

Для построения образа куба достаточно построить образы всех его восьми вершин, а затем соединить их ребрами в соответствующем порядке.

В этом случае центром симметрии является вершина куба $A_1$. Для любой точки $P$ её образ $P'$ находится из условия, что $A_1$ — середина отрезка $PP'$. В векторной форме это означает, что $\vec{A_1P'} = -\vec{A_1P}$.

Построим образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, находя образы его вершин относительно точки $A_1$. Обозначим образ вершины $X$ как $X'$.

1. Вершина $A_1$ является центром симметрии, поэтому она отображается сама на себя: $A'_1 = A_1$.
2. Найдём образы вершин, смежных с $A_1$: $A$, $B_1$, $D_1$.
- Образ вершины $A$ — это точка $A'$, такая что $A_1$ — середина отрезка $AA'$. Для её построения нужно продлить ребро $AA_1$ за точку $A_1$ на его длину. То есть $A_1A' = AA_1$.
- Образ вершины $B_1$ — это точка $B'_1$, такая что $A_1$ — середина отрезка $B_1B'_1$. Для её построения нужно продлить ребро $B_1A_1$ за точку $A_1$ на его длину. То есть $A_1B'_1 = B_1A_1$.
- Образ вершины $D_1$ — это точка $D'_1$, такая что $A_1$ — середина отрезка $D_1D'_1$. Для её построения нужно продлить ребро $D_1A_1$ за точку $A_1$ на его длину. То есть $A_1D'_1 = D_1A_1$.
3. Полученные отрезки $A_1A'$, $A_1B'_1$ и $A_1D'_1$ являются тремя ребрами нового куба, выходящими из общей вершины $A_1$.
4. Остальные вершины нового куба можно построить, используя параллельность ребер. Например, чтобы найти $C'_1$, можно воспользоваться правилом параллелограмма (векторным сложением): $\vec{A_1C'_1} = \vec{A_1B'_1} + \vec{A_1D'_1}$. Аналогично строятся и остальные вершины $B'$, $C'$, $D'$, $A'$.
5. Соединив все полученные вершины, мы получим новый куб $A'B'C'D'A'_1B'_1C'_1D'_1$, который конгруэнтен исходному и имеет с ним общую вершину $A_1$.

Ответ: Образом данного куба при симметрии относительно вершины $A_1$ является куб, равный исходному, который имеет с ним одну общую вершину $A_1$. Три ребра нового куба, выходящие из вершины $A_1$, лежат на прямых, содержащих ребра $A_1A$, $A_1B_1$, $A_1D_1$ исходного куба, и направлены в противоположные стороны от вершины $A_1$.

В этом случае центром симметрии является точка $M$, лежащая на ребре $CC_1$. Для любой точки $P$ её образ $P'$ находится из условия, что $M$ — середина отрезка $PP'$.

Построение образа куба заключается в нахождении образов всех его восьми вершин относительно точки $M$. Обозначим образ вершины $X$ как $X'$.

1. Для каждой вершины исходного куба $P \in \{A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\}$ строим симметричную ей точку $P'$. Для этого соединяем точку $P$ с центром симметрии $M$ и на продолжении отрезка $PM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MP'$, равный $PM$.
2. Рассмотрим построение образов вершин $C$ и $C_1$, на ребре которых лежит точка $M$:
- Образ вершины $C$ — точка $C'$, лежит на прямой $CC_1$. $M$ является серединой отрезка $CC'$.
- Образ вершины $C_1$ — точка $C'_1$, также лежит на прямой $CC_1$. $M$ является серединой отрезка $C_1C'_1$.
Отрезок $C'C'_1$ является образом ребра $CC_1$. Его длина равна длине ребра $CC_1$.
3. Аналогично строятся образы остальных шести вершин:
- $A'$ — образ $A$, $M$ — середина $AA'$.
- $B'$ — образ $B$, $M$ — середина $BB'$.
- $D'$ — образ $D$, $M$ — середина $DD'$.
- $A'_1$ — образ $A_1$, $M$ — середина $A_1A'_1$.
- $B'_1$ — образ $B_1$, $M$ — середина $B_1B'_1$.
- $D'_1$ — образ $D_1$, $M$ — середина $D_1D'_1$.
4. Последовательно соединив полученные точки $A', B', C', D', A'_1, B'_1, C'_1, D'_1$, получим искомый образ куба. Это будет куб, конгруэнтный исходному. Он будет "перевернут" относительно исходного куба и смещен в пространстве.

Ответ: Образом куба является конгруэнтный ему куб $A'B'C'D'A'_1B'_1C'_1D'_1$. Для построения необходимо для каждой вершины $P$ исходного куба найти симметричную ей точку $P'$ относительно точки $M$ (так, чтобы $M$ была серединой отрезка $PP'$). Соединив полученные восемь вершин-образов, получим искомый куб.