gdz.top
Номер 180, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 2. Пирамида - номер 180, страница 58.
№179
№180 (с. 58)
Условие. №180 (с. 58)
180. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите высоту пирамиды.
Решение. №180 (с. 58)
Решение 2. №180 (с. 58)
Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S и основанием ABCD. Так как пирамида правильная, в её основании лежит квадрат ABCD, а высота SO опускается в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей O).
По условию, сторона основания (квадрата) равна $a = 10$ см. Угол между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания (ABCD) равен $60^\circ$.
Углом между прямой и плоскостью является угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией бокового ребра SA на плоскость основания ABCD является отрезок AO. Следовательно, угол $\angle SAO = 60^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle SOA$. Он является прямоугольным, так как высота пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку AO. Таким образом, $\angle SOA = 90^\circ$. В этом треугольнике:
- SO — высота пирамиды $h$ (искомая величина).
- AO — половина диагонали квадрата ABCD.
- $\angle SAO = 60^\circ$.
Сначала найдём длину диагонали AC квадрата ABCD. По формуле диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$: $AC = 10\sqrt{2}$ см.
Точка O является серединой диагонали AC, поэтому: $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ см.
Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ мы можем найти высоту SO, используя тангенс угла $\angle SAO$: $\text{tg}(\angle SAO) = \frac{SO}{AO}$
Подставим известные значения: $\text{tg}(60^\circ) = \frac{h}{5\sqrt{2}}$
Зная, что $\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$, получим: $\sqrt{3} = \frac{h}{5\sqrt{2}}$
Отсюда выражаем высоту $h$: $h = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{6}$ см.
Ответ: $5\sqrt{6}$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 180 расположенного на странице 58 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №180 (с. 58), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.