Номер 177, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 2. Пирамида - номер 177, страница 58.

Условие.

Пирамида

177. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а высота — 2 см. Найдите апофему пирамиды.

Решение.

Решение 2.

В правильной треугольной пирамиде основанием является равносторонний треугольник. Апофема пирамиды (обозначим её $h_a$) — это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($H$), проекцией апофемы на основание и самой апофемой. Проекцией апофемы на основание является радиус вписанной в основание окружности ($r$). В этом треугольнике:

• Высота пирамиды $H=2$ см — один катет.
• Радиус вписанной окружности $r$ — второй катет.
• Апофема $h_a$ — гипотенуза.

1. Сначала найдем радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник в основании. Сторона основания $a = 12$ см. Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ Подставим наши значения: $r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Теперь, используя теорему Пифагора, найдем апофему $h_a$: $h_a^2 = H^2 + r^2$ Подставим значения высоты $H=2$ см и радиуса $r=2\sqrt{3}$ см: $h_a^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2$ $h_a^2 = 4 + 4 \cdot 3$ $h_a^2 = 4 + 12$ $h_a^2 = 16$ $h_a = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.