Номер 200, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Основанием пирамиды $SABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 120^\circ$. Найдите сторону $AC$, если высота пирамиды равна 12 см, а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания пирамиды угол $60^\circ$.

Пусть $SO$ — высота пирамиды $SABC$, где $O$ — основание высоты, лежащее в плоскости треугольника $ABC$. По условию, высота пирамиды $SO = 12$ см.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекциями боковых ребер $SA$, $SB$ и $SC$ на плоскость основания $(ABC)$ являются отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ соответственно.

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60°$. Следовательно, углы $\angle SAO$, $\angle SBO$ и $\angle SCO$ равны $60°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$ и $\triangle SOC$ (они прямоугольные, так как $SO$ — высота, то есть $SO \perp (ABC)$). У них общий катет $SO$ и равные острые углы ($\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = 60°$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и противолежащему углу.

Из равенства треугольников следует равенство отрезков $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а отрезки $OA$, $OB$, $OC$ — ее радиусами $R$.

Найдем радиус $R$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$, используя тангенс угла $\angle SAO$: $\text{tg}(\angle SAO) = \frac{SO}{OA}$. Отсюда $R = OA = \frac{SO}{\text{tg}(\angle SAO)} = \frac{12}{\text{tg}(60°)} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$, являющийся основанием пирамиды. По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R$.

Выразим из этой формулы искомую сторону $AC$: $AC = 2R \cdot \sin(\angle B)$.

Подставим известные значения: $R = 4\sqrt{3}$ см и $\angle B = 120°$: $AC = 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin(120°)$.

Так как $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $AC = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.