Номер 196, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Двугранный угол правильной четырёхугольной пира-миды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите двугран-ный угол пирамиды при боковом ребре.

Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$), тогда $SO$ — высота пирамиды.

Двугранный угол при ребре основания, например $CD$, по условию равен $α$. Для построения его линейного угла проведём апофему $SM$, где $M$ — середина ребра $CD$. Тогда $SM ⊥ CD$. В плоскости основания проведём $OM$. Так как $ABCD$ — квадрат и $O$ — его центр, $OM ⊥ CD$. Следовательно, угол $∠SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $CD$, и $∠SMO = α$.

Требуется найти двугранный угол при боковом ребре, например $SC$. Обозначим его $β$. Этот угол образован плоскостями боковых граней $(SBC)$ и $(SDC)$. Для построения его линейного угла проведём в плоскости $(SDC)$ высоту $DK$ на ребро $SC$, то есть $DK ⊥ SC$. Так как пирамида правильная, боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками ($△SBC ≅ △SDC$). Поэтому высота, проведённая из вершины $B$ к стороне $SC$ в треугольнике $SBC$, также попадёт в точку $K$, то есть $BK ⊥ SC$. Таким образом, угол $∠BKD$ является линейным углом искомого двугранного угла, $∠BKD = β$.

Для решения задачи введём параметр. Пусть половина стороны основания равна $a$, то есть $OM = MC = a$. Тогда сторона основания $CD = 2a$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. В нём $OM = a$ и $∠SMO = α$. Найдём длину апофемы $SM$:
$SM = OM / cos(α) = a / cos(α)$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SMC$. Найдём длину бокового ребра $SC$ по теореме Пифагора:
$SC^2 = SM^2 + MC^2 = (a / cos(α))^2 + a^2 = a^2/cos^2(α) + a^2 = a^2 * ( (1 + cos^2(α)) / cos^2(α) )$
$SC = (a/cos(α)) * sqrt(1 + cos^2(α))$.

3. Найдём длину отрезка $DK$. Площадь треугольника $SDC$ можно выразить двумя способами:
$S_{△SDC} = (1/2) * CD * SM = (1/2) * 2a * (a/cos(α)) = a^2/cos(α)$.
С другой стороны, $S_{△SDC} = (1/2) * SC * DK$.
Приравнивая эти два выражения, получим:
$DK = (2 * S_{△SDC}) / SC = (2 * a^2/cos(α)) / ((a/cos(α)) * sqrt(1 + cos^2(α))) = 2a / sqrt(1 + cos^2(α))$.

4. Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $BKD$. Мы знаем, что $BK = DK = 2a / sqrt(1 + cos^2(α))$. Основание $BD$ этого треугольника является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $2a$. Следовательно, $BD = 2a * sqrt(2)$.

5. Применим к треугольнику $BKD$ теорему косинусов для нахождения угла $β = ∠BKD$:
$BD^2 = BK^2 + DK^2 - 2 * BK * DK * cos(β)$
Так как $BK = DK$, формула упрощается:
$BD^2 = 2 * DK^2 - 2 * DK^2 * cos(β) = 2 * DK^2 * (1 - cos(β))$.

Отсюда выразим $cos(β)$:
$cos(β) = 1 - BD^2 / (2 * DK^2)$.

Подставим найденные значения $BD^2$ и $DK^2$:
$BD^2 = (2a * sqrt(2))^2 = 8a^2$.
$DK^2 = (2a / sqrt(1 + cos^2(α)))^2 = 4a^2 / (1 + cos^2(α))$.

$cos(β) = 1 - (8a^2) / (2 * (4a^2 / (1 + cos^2(α)))) = 1 - (8a^2) / (8a^2 / (1 + cos^2(α)))$.

$cos(β) = 1 - (1 + cos^2(α)) = 1 - 1 - cos^2(α) = -cos^2(α)$.

Таким образом, косинус искомого двугранного угла равен $-cos^2(α)$. Сам угол равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $arccos(-cos^2(α))$