Номер 193, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует со стороной основания угол $α$, а радиус окружности, вписанной в боковую грань, равен $r$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Основанием пирамиды является квадрат, а боковые грани — это четыре равных равнобедренных треугольника.

Обозначим сторону основания пирамиды как $a$, а боковое ребро как $l$. Рассмотрим одну из боковых граней — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковыми сторонами $l$. По условию задачи, угол между боковым ребром и стороной основания равен $\alpha$. Это означает, что углы при основании этого треугольника равны $\alpha$.

Решение

Сначала найдём связь между стороной основания $a$ и радиусом $r$ окружности, вписанной в боковую грань.

Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углами при основании $\alpha$. Проведём в нём высоту к основанию (которая также является апофемой пирамиды). Эта высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Центр вписанной окружности (инцентр) лежит на этой высоте.

Пусть $M$ — середина основания $a$ боковой грани. Центр вписанной окружности $O$ находится на высоте $SM$ на расстоянии $r$ от основания $AB$. Биссектриса угла $\alpha$ (т.е. $\angle SAB$) проходит через инцентр $O$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMO$, где $AM$ — половина основания ($a/2$), $OM$ — радиус вписанной окружности ($r$), а угол $\angle OAM$ равен половине угла $\angle SAB$, то есть $\alpha/2$.

Из этого треугольника получаем соотношение:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{OM}{AM} = \frac{r}{a/2}$

Выразим сторону основания $a$ через $r$ и $\alpha$:

$a = \frac{2r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = 2r \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь найдём площадь одной боковой грани. Площадь треугольника ($S_{грани}$) равна половине произведения его основания на высоту. Высота (апофема) $h_a$ боковой грани может быть найдена из прямоугольного треугольника $\triangle SAM$ с катетом $AM = a/2$ и прилежащим углом $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{h_a}{AM} = \frac{h_a}{a/2}$

Отсюда высота $h_a$:

$h_a = \frac{a}{2} \tan(\alpha)$

Найдём площадь одной боковой грани:

$S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} a \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2}{4} \tan(\alpha)$

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) состоит из четырёх таких равных граней:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2}{4} \tan(\alpha) = a^2 \tan(\alpha)$

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для $a$:

$S_{бок} = (2r \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 \tan(\alpha) = 4r^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$

Ответ: $4r^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$