Номер 164, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 8 см, а боковое ребро — 2 см. Через сторону $AC$ нижнего основания и середину стороны $A_1B_1$ верхнего основания проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны основаниям.

По условию, сторона основания $a = AC = 8$ см, а боковое ребро $h = AA_1 = 2$ см.

Секущая плоскость проходит через сторону $AC$ нижнего основания и середину стороны $A_1B_1$ верхнего основания. Обозначим середину стороны $A_1B_1$ как точку $M$.

Построим сечение. Так как плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — это прямая $AC$. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием — это прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $A_1C_1$ (поскольку $AC \parallel A_1C_1$).

В равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ прямая, проходящая через середину стороны $A_1B_1$ (точку $M$) параллельно стороне $A_1C_1$, является средней линией треугольника. Эта средняя линия пересекает сторону $B_1C_1$ в её середине. Обозначим середину $B_1C_1$ как точку $N$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $ACNM$.

Определим вид и размеры этого четырехугольника.
1. Основания: $AC$ и $MN$. Так как мы построили $MN \parallel AC$, четырехугольник $ACNM$ — трапеция.
Длина нижнего основания $AC = 8$ см.
Длина верхнего основания $MN$ равна половине длины $A_1C_1$, так как $MN$ — средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$.
$MN = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

2. Боковые стороны: $AM$ и $CN$.
Рассмотрим боковую грань $AA_1B_1B$, которая является прямоугольником. Длину стороны $AM$ можно найти из прямоугольного треугольника $AA_1M$. Катеты $AA_1 = 2$ см и $A_1M = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
По теореме Пифагора:
$AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.
$AM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
Аналогично, для боковой грани $CC_1B_1B$ и прямоугольного треугольника $CC_1N$ имеем $CC_1 = 2$ см и $C_1N = \frac{1}{2} C_1B_1 = 4$ см.
$CN^2 = CC_1^2 + C_1N^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.
$CN = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
Так как $AM = CN$, трапеция $ACNM$ является равнобедренной.

Для нахождения площади трапеции нам нужна ее высота. Проведем в равнобедренной трапеции $ACNM$ высоту $MH$ из вершины $M$ на основание $AC$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой на большем основании, вычисляется по формуле:
$AH = \frac{AC - MN}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMH$. Высота трапеции $MH$ является катетом в этом треугольнике. По теореме Пифагора:
$MH^2 = AM^2 - AH^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2^2 = 20 - 4 = 16$.
$MH = \sqrt{16} = 4$ см.

Площадь трапеции $ACNM$ вычисляется по формуле:
$S_{ACNM} = \frac{AC + MN}{2} \cdot MH = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{12}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ см$^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.