Номер 159, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны $7\text{ см}$ и $17\text{ см}$, а диагонали перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы используется формула $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы. Решим задачу по шагам.

1. Нахождение высоты, боковой стороны и диагонали основания (трапеции).

Основанием призмы является равнобокая трапеция. Обозначим её основания как $a=17$ см и $b=7$ см.В равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями высота $h_{тр}$ равна полусумме оснований:

$h_{тр} = \frac{a+b}{2} = \frac{17+7}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Найдем боковую сторону трапеции $c$. Проведем высоту из вершины меньшего основания на большее. Она отсечет прямоугольный треугольник, один катет которого — высота трапеции $h_{тр}$, а второй катет равен полуразности оснований:

$x = \frac{a-b}{2} = \frac{17-7}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора найдем боковую сторону $c$ (гипотенузу):

$c = \sqrt{h_{тр}^2 + x^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь найдем длину диагонали трапеции $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой трапеции и частью большего основания. Длина этой части основания равна $a - x = 17 - 5 = 12$ см. По теореме Пифагора:

$d = \sqrt{h_{тр}^2 + (a-x)^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение периметра основания.

Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон:

$P_{осн} = a + b + 2c = 17 + 7 + 2 \cdot 13 = 24 + 26 = 50$ см.

3. Нахождение высоты призмы.

Диагональ призмы, её проекция на плоскость основания (которая является диагональю основания $d$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания — это угол между диагональю призмы и её проекцией, и по условию он равен $45°$.

В этом прямоугольном треугольнике катеты равны высоте призмы $H$ и диагонали основания $d$. Так как один из острых углов равен $45°$, то треугольник является равнобедренным, следовательно, $H=d$.

$H = d = 12\sqrt{2}$ см.

4. Нахождение площади боковой поверхности призмы.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 50 \cdot 12\sqrt{2} = 600\sqrt{2}$ см².

Ответ: $600\sqrt{2}$ см².