Номер 162, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Диагональ основания правильной четырёхугольной призмы равна $2\sqrt{2}$ см, а диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь сечения призмы, которое проходит через сторону нижнего основания и противоположную ей сторону верхнего основания.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$.

1. Найдем сторону основания. Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. По условию, диагональ основания равна $2\sqrt{2}$ см. Тогда: $a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ $a = 2$ см.

2. Найдем высоту призмы. Диагональ призмы (например, $A_1C$) образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Этот угол, $\angle A_1CA$, находится в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AC$, катетами которого являются высота призмы $H = AA_1$ и диагональ основания $AC = 2\sqrt{2}$ см. Поскольку один из острых углов в прямоугольном треугольнике равен $45^\circ$, он является равнобедренным, и его катеты равны: $H = AC = 2\sqrt{2}$ см.

3. Построим сечение и определим его вид. Сечение проходит через сторону нижнего основания, например $AD$, и противоположную ей сторону верхнего основания, $B_1C_1$. Полученный четырехугольник – $ADC_1B_1$. Так как стороны $AD$ и $B_1C_1$ параллельны и равны (как соответствующие стороны оснований), то четырехугольник $ADC_1B_1$ – параллелограмм. Призма является правильной, а значит, она прямая. Это означает, что боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Отсюда следует, что $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $AB_1$. Значит, угол $\angle DAB_1 = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

4. Найдем площадь сечения. Площадь прямоугольника $ADC_1B_1$ равна произведению его смежных сторон $AD$ и $AB_1$. Сторона $AD = a = 2$ см. Сторону $AB_1$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle AA_1B$: $AB_1 = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{H^2 + a^2}$ $AB_1 = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Теперь вычислим площадь сечения: $S_{сеч} = AD \cdot AB_1 = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см².

Ответ: $4\sqrt{3}$ см².