Страница 69 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Постройте сечение пирамиды $SABC$ плоскостью, которая проходит через точки $D$ и $E$, принадлежащие соответственно рёбрам $BC$ и $BS$, и параллельна прямой $AC$.

Для построения сечения пирамиды SABC плоскостью, которая проходит через точки $D$ на ребре $BC$ и $E$ на ребре $BS$, и параллельна прямой $AC$, выполним следующие шаги:

1. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SBC

По условию, точки $D$ и $E$ принадлежат секущей плоскости. Точка $D$ лежит на ребре $BC$, а точка $E$ — на ребре $BS$. Оба этих ребра принадлежат грани $SBC$, следовательно, точки $D$ и $E$ лежат в плоскости этой грани. Таким образом, прямая $DE$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $SBC$. Отрезок $DE$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Построение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания ABC

Согласно условию, секущая плоскость (обозначим ее $\alpha$) параллельна прямой $AC$, то есть $AC \parallel \alpha$. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $ABC$. По свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость, параллельная некоторой прямой, пересекает плоскость, содержащую эту прямую, то линия их пересечения параллельна данной прямой.
Секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость основания $ABC$. Точка $D$ является их общей точкой, так как $D$ принадлежит секущей плоскости и $D$ лежит на ребре $BC$, которое находится в плоскости основания.
Следовательно, линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $ABC$ проходит через точку $D$ и параллельна прямой $AC$. Проведем в плоскости основания $ABC$ через точку $D$ прямую, параллельную $AC$. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке, которую мы обозначим $F$. Отрезок $DF$ — это вторая сторона искомого сечения.

3. Построение линии пересечения секущей плоскости с гранью SAB и завершение построения

В результате предыдущего шага мы получили точку $F$ на ребре $AB$. По условию, точка $E$ находится на ребре $BS$. Обе точки, $F$ и $E$, принадлежат секущей плоскости $\alpha$, а также лежат в плоскости грани $SAB$. Соединив точки $F$ и $E$, мы получим отрезок $FE$, который является линией пересечения секущей плоскости с гранью $SAB$. Этот отрезок является третьей стороной сечения.
Таким образом, мы получили замкнутый многоугольник — треугольник $DEF$. Его вершины лежат на ребрах пирамиды ($D \in BC$, $E \in BS$, $F \in AB$). Плоскость треугольника $DEF$ удовлетворяет всем условиям задачи: она проходит через точки $D$ и $E$ по построению и параллельна прямой $AC$, так как содержит прямую $DF$, построенную параллельно $AC$.

Ответ: Искомым сечением является треугольник $DEF$, где точка $F$ — это точка пересечения прямой, проведенной в плоскости основания $ABC$ через точку $D$ параллельно прямой $AC$, с ребром $AB$.

37. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания треугольной призмы прямой, проходящей через две точки, одна из которых принадлежит боковой грани призмы, а другая — ребру верхнего основания, которое не принадлежит этой грани.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1$ — верхнее. Плоскость нижнего основания — это плоскость $(ABC)$.

Согласно условию, заданы две точки:

• Точка $M$, принадлежащая боковой грани, например, грани $ABB_1A_1$. ($M \in (ABB_1A_1)$)
• Точка $N$, принадлежащая ребру верхнего основания, которое не принадлежит грани $ABB_1A_1$. Таким ребром является, например, $A_1C_1$. ($N \in A_1C_1$)

Требуется построить точку $X$ — точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

Для построения воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей (методом проекций). Алгоритм построения следующий:

1. Построение проекций точек на плоскость нижнего основания

Построим проекции точек $M$ и $N$ на плоскость $(ABC)$, проведя через них прямые, параллельные боковым ребрам призмы (например, ребру $AA_1$).

• Через точку $M$ проведем прямую $m \parallel AA_1$. Точка пересечения этой прямой с прямой $AB$ (которая лежит в плоскости основания) будет проекцией точки $M$. Обозначим эту точку $M'$. Таким образом, $M' = m \cap AB$.
• Аналогично, через точку $N$ проведем прямую $n \parallel AA_1$. Так как точка $N$ лежит на ребре $A_1C_1$, ее проекция будет лежать на прямой $AC$. Обозначим эту точку $N'$. Таким образом, $N' = n \cap AC$.

2. Построение вспомогательной прямой (следа)

Точки $M'$ и $N'$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Следовательно, прямая $M'N'$, проходящая через эти точки, целиком лежит в плоскости $(ABC)$.

3. Нахождение искомой точки пересечения

Искомая точка $X$ должна одновременно принадлежать прямой $MN$ и плоскости $(ABC)$.
Прямые $MN$ и $M'N'$ лежат в одной вспомогательной плоскости (определяемой, например, точками $M, N, M'$). Поскольку прямая $M'N'$ лежит в плоскости $(ABC)$, точка пересечения этих двух прямых будет принадлежать как прямой $MN$, так и плоскости $(ABC)$, а значит, является искомой точкой.

Строим прямую $MN$ и прямую $M'N'$. Точка их пересечения и будет искомой точкой $X$.

$X = MN \cap M'N'$

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямой, проходящей через заданные точки $M$ и $N$, и прямой, проходящей через проекции этих точек на плоскость нижнего основания. Построение сводится к нахождению проекций $M'$ и $N'$ точек $M$ и $N$ на плоскость основания (параллельно боковому ребру), проведению прямых $MN$ и $M'N'$ и нахождению их точки пересечения.

38. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания четырёхугольной призмы прямой, проходящей через две точки, принадлежащие двум противоположным боковым граням призмы.

Для решения этой задачи воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей (методом следов).

Построение

1. Пусть дана четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость нижнего основания обозначим как $\alpha$, то есть $\alpha = (ABC)$.
2. Пусть точка $M$ принадлежит боковой грани $ABB_1A_1$, а точка $N$ — противоположной боковой грани $CDD_1C_1$. Нам нужно построить точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $\alpha$.

3. Построим вспомогательную секущую плоскость $\beta$, проходящую через прямую $MN$. Для этого спроецируем точки $M$ и $N$ на плоскость нижнего основания $\alpha$ параллельно боковым ребрам призмы (например, ребру $AA_1$).

4. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную ребру $AA_1$. Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания $AB$ является проекцией точки $M$. Обозначим эту точку $M'$. Таким образом, $MM' \parallel AA_1$ и $M' \in AB$.

5. Аналогично, проведем через точку $N$ прямую, параллельную ребру $CC_1$ (которое параллельно $AA_1$). Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания $CD$ является проекцией точки $N$. Обозначим эту точку $N'$. Таким образом, $NN' \parallel CC_1$ и $N' \in CD$.

6. Точки $M$, $N$, $M'$, $N'$ лежат в одной плоскости $\beta$. Эта плоскость является нашей вспомогательной секущей плоскостью. Прямая $MN$ лежит в этой плоскости по условию. Прямая $M'N'$ также лежит в этой плоскости по построению.

7. Найдем линию пересечения (след) плоскости $\beta$ с плоскостью нижнего основания $\alpha$. Так как точки $M'$ и $N'$ принадлежат ребрам $AB$ и $CD$ соответственно, они обе лежат в плоскости нижнего основания $\alpha$. Следовательно, прямая $M'N'$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

8. Искомая точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $\alpha$ должна лежать на обеих. Так как все точки прямой $M'N'$ лежат в плоскости $\alpha$, то искомая точка пересечения должна лежать на прямой $M'N'$. Прямые $MN$ и $M'N'$ обе лежат во вспомогательной плоскости $\beta$, поэтому они пересекаются (если не параллельны). Найдем точку их пересечения, продолжив отрезки $MN$ и $M'N'$ до пересечения. Обозначим эту точку $P$.

9. Точка $P = MN \cap M'N'$ является искомой точкой.

Обоснование
По построению точка $P$ принадлежит прямой $MN$. Также по построению точка $P$ принадлежит прямой $M'N'$. Поскольку прямая $M'N'$ целиком лежит в плоскости нижнего основания $\alpha$, то и точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $\alpha$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ и прямой $M'N'$, где $M'$ и $N'$ — это проекции точек $M$ и $N$ на плоскость нижнего основания, полученные проведением прямых через $M$ и $N$ параллельно боковым ребрам призмы.

39. Диагонали $AC$ и $BD$ ромба $ABCD$ параллельны плоскости $\alpha$. Докажите, что прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$.

Обозначим плоскость, в которой лежит ромб $ABCD$, через $\beta$. Диагонали ромба $AC$ и $BD$ являются пересекающимися прямыми (в точке их пересечения $O$), и обе лежат в плоскости $\beta$.

По условию задачи, обе диагонали параллельны плоскости $\alpha$. То есть, $AC \parallel \alpha$ и $BD \parallel \alpha$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то и сами плоскости параллельны. В нашем случае прямые $AC$ и $BD$ лежат в плоскости $\beta$, пересекаются и обе параллельны плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскость ромба $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то есть $\beta \parallel \alpha$.

Прямая $CD$ является стороной ромба $ABCD$, поэтому она полностью лежит в плоскости $\beta$ ($CD \subset \beta$).

По свойству параллельных плоскостей, любая прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости. Так как прямая $CD$ лежит в плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$.

40. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. В плоскости $\alpha$ выбраны точки $K$ и $P$, а в плоскости $\beta$ — точки $K_1$ и $P_1$ такие, что прямые $KK_1$ и $PP_1$ параллельны. Найдите отрезки $KP$ и $PP_1$, если $K_1P_1 = 13$ см, $KK_1 = 19$ см.

Рассмотрим четырехугольник, образованный точками $K, P, P_1, K_1$.

По условию задачи, прямые $KK_1$ и $PP_1$ параллельны. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость. Следовательно, все четыре точки $K, P, P_1$ и $K_1$ лежат в одной плоскости.

Эта плоскость, назовем ее $\gamma$, пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Линия пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $KP$, так как точки $K$ и $P$ принадлежат обеим плоскостям.

Линия пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\beta$ — это прямая $K_1P_1$, так как точки $K_1$ и $P_1$ принадлежат обеим плоскостям.

Из этого следует, что прямая $KP$ параллельна прямой $K_1P_1$ ($KP \parallel K_1P_1$).

Теперь рассмотрим четырехугольник $KPP_1K_1$. В нем:

1. Сторона $KP$ параллельна стороне $K_1P_1$ (по доказанному выше).

2. Сторона $KK_1$ параллельна стороне $PP_1$ (по условию задачи).

Поскольку у четырехугольника $KPP_1K_1$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны. Таким образом:
$KP = K_1P_1$
$PP_1 = KK_1$

Подставим значения, данные в условии:
$K_1P_1 = 13$ см
$KK_1 = 19$ см

Следовательно:
$KP = 13$ см
$PP_1 = 19$ см

Ответ: $KP = 13$ см, $PP_1 = 19$ см.

41. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, $C \in \alpha$, $D \in \alpha$, $E \in \beta$, $F \in \beta$, $CE \parallel DF$, $CD = 2\sqrt{3}$ см, $DF = 3$ см, $\angle CEF = 150^{\circ}$. Найдите отрезок $CF$.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), точки $C$ и $D$ принадлежат плоскости $\alpha$, а точки $E$ и $F$ — плоскости $\beta$, и при этом отрезки $CE$ и $DF$ параллельны ($CE \parallel DF$), то четыре точки $C, D, F, E$ лежат в одной плоскости.

Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $CD$ и $EF$ соответственно. Согласно свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $CD \parallel EF$.

Рассмотрим четырехугольник $CDFE$. В нем противоположные стороны попарно параллельны: $CE \parallel DF$ (по условию) и $CD \parallel EF$ (как доказано выше). Таким образом, четырехугольник $CDFE$ является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Из условия нам известно, что $CD = 2\sqrt{3}$ см и $DF = 3$ см. Значит:
$EF = CD = 2\sqrt{3}$ см
$CE = DF = 3$ см

Чтобы найти длину отрезка $CF$, который является диагональю параллелограмма $CDFE$, рассмотрим треугольник $CEF$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон $CE$ и $EF$ и угол между ними $\angle CEF = 150°$.

Применим теорему косинусов для нахождения стороны $CF$:
$CF^2 = CE^2 + EF^2 - 2 \cdot CE \cdot EF \cdot \cos(\angle CEF)$

Подставим известные значения в формулу и произведем вычисления:
$CF^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(150°)$
Поскольку $\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$CF^2 = 9 + (4 \cdot 3) - 12\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$CF^2 = 9 + 12 + \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
$CF^2 = 21 + \frac{12 \cdot 3}{2}$
$CF^2 = 21 + \frac{36}{2}$
$CF^2 = 21 + 18$
$CF^2 = 39$
$CF = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $\sqrt{39}$ см.

42. Стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ параллельны плоскости $\gamma$. Через точки $A$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\gamma$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $ACC_1A_1$ — параллелограмм.

Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, как плоскость $\alpha$.

По условию задачи, стороны $AB$ и $BC$ параллельны плоскости $\gamma$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$ и лежат в плоскости $\alpha$. Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае $AB \subset \alpha$, $BC \subset \alpha$, $AB \cap BC = B$, и при этом $AB \parallel \gamma$, $BC \parallel \gamma$. Следовательно, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\gamma$, то есть $(ABC) \parallel \gamma$.

Далее, по условию, через точки $A$ и $C$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\gamma$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. Это означает, что прямая $AA_1$ параллельна прямой $CC_1$. Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. В нем стороны $AA_1$ и $CC_1$ являются противоположными и параллельными.

Точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$, а точки $A_1$ и $C_1$ принадлежат плоскости $\gamma$. Мы доказали, что плоскости $\alpha$ и $\gamma$ параллельны. По свойству параллельных плоскостей, отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Следовательно, длина отрезка $AA_1$ равна длине отрезка $CC_1$, то есть $AA_1 = CC_1$.

Таким образом, в четырехугольнике $ACC_1A_1$ две противоположные стороны ($AA_1$ и $CC_1$) параллельны и равны. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, четырехугольник $ACC_1A_1$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $ACC_1A_1$ — параллелограмм.

43. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$ и пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите отрезок $A_1B_1$, если $AB = 12$ см, $CB_1 : B_1B = 2 : 3$.

По условию задачи, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$. Плоскость треугольника $ABC$ является секущей для этих двух параллельных плоскостей. Прямая $AB$ является линией пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\alpha$. Прямая $A_1B_1$ является линией пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\beta$.

По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle ABC$:

1. Угол $\angle C$ — общий для обоих треугольников.
2. Углы $\angle CB_1A_1$ и $\angle CBA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$ и секущей $BC$.

Таким образом, треугольник $\triangle A_1B_1C$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам. Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{CB_1}{CB} = \frac{CA_1}{CA}$

Найдём отношение сторон $CB_1$ и $CB$. По условию $CB_1 : B_1B = 2 : 3$.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда $CB_1 = 2x$ и $B_1B = 3x$.

Сторона $CB$ равна сумме отрезков $CB_1$ и $B_1B$:

$CB = CB_1 + B_1B = 2x + 3x = 5x$

Теперь найдём отношение $\frac{CB_1}{CB}$:

$\frac{CB_1}{CB} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$

Это и есть коэффициент подобия треугольников. Теперь мы можем найти длину отрезка $A_1B_1$, используя известную длину $AB = 12$ см:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{2}{5}$

$\frac{A_1B_1}{12} = \frac{2}{5}$

$A_1B_1 = 12 \cdot \frac{2}{5} = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Ответ: 4.8 см.

44. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Через прямую $a$ плоскости $\alpha$ проведены плоскости $\gamma_1$ и $\gamma_2$, пересекающие плоскость $\beta$ по прямым $b_1$ и $b_2$ соответственно. Докажите, что $b_1 \parallel b_2$.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $α$ и $β$ ($α \parallel β$). Через прямую $a$, лежащую в плоскости $α$ ($a \subset α$), проведены две плоскости $γ_1$ и $γ_2$. Плоскость $γ_1$ пересекает плоскость $β$ по прямой $b_1$, а плоскость $γ_2$ пересекает плоскость $β$ по прямой $b_2$. Требуется доказать, что прямые $b_1$ и $b_2$ параллельны ($b_1 \parallel b_2$).

Доказательство:

1. Рассмотрим плоскости $α$, $β$ и секущую их плоскость $γ_1$. По условию, плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$). Согласно свойству параллельных плоскостей, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Плоскость $γ_1$ пересекает плоскость $α$ по прямой $a$ (так как по условию $a \subset α$ и $a \subset γ_1$) и пересекает плоскость $β$ по прямой $b_1$. Следовательно, прямая $a$ параллельна прямой $b_1$, то есть $a \parallel b_1$.

2. Аналогично рассмотрим плоскости $α$, $β$ и секущую их плоскость $γ_2$. Плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$). Плоскость $γ_2$ пересекает плоскость $α$ по прямой $a$ и плоскость $β$ по прямой $b_2$. По тому же свойству параллельных плоскостей, линии пересечения должны быть параллельны. Следовательно, $a \parallel b_2$.

3. Мы установили, что $a \parallel b_1$ и $a \parallel b_2$. Согласно теореме о параллельности прямых в пространстве (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), из полученных соотношений следует, что $b_1 \parallel b_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $b_1$ и $b_2$ параллельны.