Страница 73 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 83). Найдите угол между прямыми:

1) $AA_1$ и $BD$;

2) $AC$ и $CD_1$;

3) $A_1B$ и $CD_1$;

4) $AB$ и $DD_1$;

5) $AB$ и $C_1D$.

Рис. 83

1) $AA_1$ и $BD$
Прямые $AA_1$ и $BD$ являются скрещивающимися. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, так как фигура является кубом. Прямая $BD$ лежит в плоскости основания $ABCD$. По определению перпендикулярности прямой к плоскости, прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$, включая прямую $BD$. Следовательно, угол между прямыми $AA_1$ и $BD$ составляет $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

2) $AC$ и $CD_1$
Прямые $AC$ и $CD_1$ пересекаются в общей точке $C$, поэтому искомый угол — это угол $\angle ACD_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle ACD_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Стороны этого треугольника являются диагоналями равных граней (квадратов) куба:
$AC$ — диагональ грани $ABCD$, ее длина $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
$CD_1$ — диагональ грани $CDD_1C_1$, ее длина $CD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
$AD_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$, ее длина $AD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Поскольку все стороны треугольника $\triangle ACD_1$ равны, он является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle ACD_1 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

3) $A_1B$ и $CD_1$
Прямые $A_1B$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Для нахождения угла между ними выполним параллельный перенос. Рассмотрим четырехугольник $A_1BCD_1$. Ребра $BC$ и $A_1D_1$ параллельны и равны как противоположные ребра куба ($BC \parallel A_1D_1$ и $BC = A_1D_1$). По признаку параллелограмма, четырехугольник $A_1BCD_1$ является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, следовательно, $A_1B \parallel D_1C$. Прямая $D_1C$ совпадает с прямой $CD_1$. Таким образом, прямые $A_1B$ и $CD_1$ параллельны, и угол между ними равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.

4) $AB$ и $DD_1$
Прямые $AB$ и $DD_1$ являются скрещивающимися. В кубе ребро $AB$ параллельно ребру $DC$ ($AB \parallel DC$). Поэтому угол между прямыми $AB$ и $DD_1$ равен углу между параллельными им прямыми $DC$ и $DD_1$. Прямые $DC$ и $DD_1$ являются смежными ребрами грани $CDD_1C_1$, которая представляет собой квадрат. Угол между смежными сторонами квадрата равен $90^\circ$. Таким образом, искомый угол $\angle CDD_1 = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

5) $AB$ и $C_1D$
Прямые $AB$ и $C_1D$ являются скрещивающимися. Ребро $AB$ параллельно ребру $DC$ ($AB \parallel DC$). Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми $DC$ и $C_1D$. Эти прямые пересекаются в точке $D$ и образуют угол $\angle C_1DC$. Данный угол находится в плоскости грани $CDD_1C_1$, которая является квадратом. Прямая $C_1D$ — это диагональ этого квадрата. Диагональ квадрата делит его угол пополам. Так как $\angle CDD_1 = 90^\circ$, то $\angle C_1DC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

64. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и треугольник $BMC$ не лежат в одной плоскости. Точка $E$ — середина отрезка $BM$, точка $F$ — середина отрезка $CM$, $\angle BCD = 140^\circ$. Найдите угол между прямыми:

1) $AD$ и $EF$;

2) $CD$ и $EF$.

1) AD и EF
Рассмотрим треугольник $BMC$. Так как точка $E$ — середина отрезка $BM$, а точка $F$ — середина отрезка $CM$, то отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BMC$.
По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, прямая $EF$ параллельна прямой $BC$ ($EF \parallel BC$).
Рассмотрим трапецию $ABCD$. По определению трапеции, ее основания $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$.
Мы имеем, что $AD \parallel BC$ и $EF \parallel BC$. По свойству транзитивности параллельных прямых, следует, что $AD \parallel EF$.
Угол между двумя параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.

2) CD и EF
Прямые $CD$ и $EF$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.
Как было установлено в предыдущем пункте, прямая $EF$ параллельна прямой $BC$ ($EF \parallel BC$).
Следовательно, искомый угол между прямыми $CD$ и $EF$ равен углу между прямыми $CD$ и $BC$.
Прямые $CD$ и $BC$ пересекаются в точке $C$ и являются сторонами трапеции. Угол между ними, $\angle BCD$, по условию равен $140^\circ$.
По определению, угол между прямыми — это наименьший из вертикальных углов, образованных при их пересечении. Его величина принадлежит промежутку $[0^\circ; 90^\circ]$.
Если один из углов равен $140^\circ$, то смежный с ним угол равен $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Поскольку $40^\circ < 90^\circ$, то угол между прямыми $CD$ и $BC$ (а значит, и между $CD$ и $EF$) равен $40^\circ$.
Ответ: $40^\circ$.

65. Известно, что $OA \perp OB$, $OA \perp OC$, $OB \perp OC$ (рис. 84). Найдите отрезок $AC$, если $BC = 6$ см, $AB = 3\sqrt{5}$ см, $\angle BCO = 30^\circ$.

Рис. 84

Согласно условию задачи, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ взаимно перпендикулярны ($OA \perp OB$, $OA \perp OC$, $OB \perp OC$). Это означает, что треугольники $\triangle OAB$, $\triangle OBC$ и $\triangle OAC$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $O$.

Для нахождения длины отрезка $AC$, который является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$, нам необходимо найти длины катетов $OA$ и $OC$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBC$ ($\angle BOC = 90^\circ$). Нам известна гипотенуза $BC = 6$ см и прилежащий к катету $OC$ угол $\angle BCO = 30^\circ$. Используя тригонометрические соотношения, найдем длины катетов $OB$ и $OC$:

$OB = BC \cdot \sin(\angle BCO) = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

$OC = BC \cdot \cos(\angle BCO) = 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAB$ ($\angle AOB = 90^\circ$). Нам известна гипотенуза $AB = 3\sqrt{5}$ см и катет $OB = 3$ см. Применим теорему Пифагора для нахождения длины катета $OA$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2$

$OA^2 = AB^2 - OB^2 = (3\sqrt{5})^2 - 3^2 = (9 \cdot 5) - 9 = 45 - 9 = 36$

$OA = \sqrt{36} = 6$ см.

3. Наконец, зная длины катетов $OA = 6$ см и $OC = 3\sqrt{3}$ см, мы можем найти гипотенузу $AC$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ ($\angle AOC = 90^\circ$) по теореме Пифагора:

$AC^2 = OA^2 + OC^2$

$AC^2 = 6^2 + (3\sqrt{3})^2 = 36 + (9 \cdot 3) = 36 + 27 = 63$

$AC = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$ см.

Ответ: $3\sqrt{7}$ см.

66. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$, если $AD = 6$ см, $AB = 2$ см, $A_1D = 2\sqrt{10}$ см.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $CD_1$ сначала найдем все измерения параллелепипеда, а затем воспользуемся геометрическим методом.

1. Нахождение высоты параллелепипеда

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его грань $ADD_1A_1$ является прямоугольником. Следовательно, треугольник $\triangle AA_1D$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A$. Ребра $AA_1$ и $AD$ являются катетами, а диагональ грани $A_1D$ — гипотенузой.

По теореме Пифагора имеем: $AA_1^2 + AD^2 = A_1D^2$.

Подставим известные значения из условия: $AD = 6$ см и $A_1D = 2\sqrt{10}$ см.

$AA_1^2 + 6^2 = (2\sqrt{10})^2$

$AA_1^2 + 36 = 4 \cdot 10$

$AA_1^2 + 36 = 40$

$AA_1^2 = 40 - 36$

$AA_1^2 = 4$

$AA_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

Таким образом, высота параллелепипеда $AA_1$ равна 2 см.

2. Нахождение угла между прямыми $AB_1$ и $CD_1$

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным.

В параллелепипеде грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $BAA_1B_1$. Это означает, что при параллельном переносе, например на вектор $\vec{CB}$, грань $CDD_1C_1$ совместится с гранью $BAA_1B_1$. При этом диагональ $CD_1$ перейдет в диагональ $BA_1$. Следовательно, прямая $CD_1$ параллельна прямой $BA_1$.

Тогда искомый угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ будет равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $BA_1$.

Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями грани $ABB_1A_1$. Эта грань представляет собой прямоугольник со сторонами $AB$ и $AA_1$. Из условия задачи $AB = 2$ см, а высоту $AA_1$ мы нашли в предыдущем пункте, она также равна 2 см.

Поскольку смежные стороны прямоугольника $ABB_1A_1$ равны ($AB = AA_1 = 2$ см), эта грань является квадратом.

Известно, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми $AB_1$ и $BA_1$ равен $90^\circ$. А так как прямая $CD_1$ параллельна прямой $BA_1$, то и угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

67. Точки $E, F, P$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AD, BD, BC$ и $AC$ тетраэдра $DABC, AB = 6$ см, $CD = 10$ см, $PE = 7$ см. Найдите угол между прямыми $AB$ и $CD$.

По условию задачи, точки E, F, P, K являются серединами рёбер AD, BD, BC и AC тетраэдра DABC соответственно. Нам необходимо найти угол между скрещивающимися прямыми AB и CD.

1. Рассмотрим треугольник ABD. Отрезок EF соединяет середины сторон AD и BD. Следовательно, EF является средней линией треугольника ABD. По свойству средней линии, отрезок EF параллелен стороне AB и его длина равна половине длины этой стороны:

$EF \parallel AB$ и $EF = \frac{1}{2}AB$.

Так как $AB = 6$ см, то $EF = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

2. Рассмотрим треугольник BCD. Отрезок FP соединяет середины сторон BD и BC. Следовательно, FP является средней линией треугольника BCD. По свойству средней линии, отрезок FP параллелен стороне CD и его длина равна половине длины этой стороны:

$FP \parallel CD$ и $FP = \frac{1}{2}CD$.

Так как $CD = 10$ см, то $FP = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

3. Угол между скрещивающимися прямыми AB и CD равен углу между пересекающимися прямыми EF и FP, так как $EF \parallel AB$ и $FP \parallel CD$. Этот угол можно найти из треугольника EFP, в котором нам известны длины всех трёх сторон: $EF = 3$ см, $FP = 5$ см и, по условию, $PE = 7$ см.

4. Применим к треугольнику EFP теорему косинусов для нахождения угла $\angle EFP$:

$PE^2 = EF^2 + FP^2 - 2 \cdot EF \cdot FP \cdot \cos(\angle EFP)$

Подставим известные значения в формулу:

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\angle EFP)$

$49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\angle EFP)$

$49 = 34 - 30 \cdot \cos(\angle EFP)$

$49 - 34 = -30 \cdot \cos(\angle EFP)$

$15 = -30 \cdot \cos(\angle EFP)$

$\cos(\angle EFP) = \frac{15}{-30} = -\frac{1}{2}$

Из этого уравнения находим, что угол $\angle EFP = 120^\circ$.

5. Углом между прямыми по определению считается острый угол (или прямой). Если при пересечении прямых один из углов равен $120^\circ$, то смежный с ним угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Таким образом, угол между прямыми EF и FP, а следовательно, и между прямыми AB и CD, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Перпендикулярность прямой и плоскости

68. Прямая $CM$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABCD$ (рис. 85). Найдите отрезок $CM$, если $AB = 3$ см, $AD = 4$ см, $AM = 13$ см.

Рис. 85

Так как четырёхугольник ABCD является прямоугольником, то треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом B. По теореме Пифагора найдём диагональ AC, которая является гипотенузой в треугольнике ABC. Стороны прямоугольника AB = 3 см, AD = 4 см. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, следовательно, BC = AD = 4 см.

Вычислим длину AC:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$AC = \sqrt{25} = 5$ см.

По условию задачи, прямая CM перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая CM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку C. Следовательно, прямая CM перпендикулярна диагонали AC.

Это означает, что треугольник ACM является прямоугольным, где ∠ACM = 90°. В этом треугольнике катетами являются стороны AC и CM, а гипотенузой — сторона AM.

Снова применим теорему Пифагора, теперь для треугольника ACM, чтобы найти длину катета CM:
$AM^2 = AC^2 + CM^2$
Выразим из формулы $CM^2$:
$CM^2 = AM^2 - AC^2$

Подставим известные значения AM = 13 см и AC = 5 см:
$CM^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$CM = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

69. Прямая $AO$ перпендикулярна плоскости окружности с центром $O$. Точка $B$ лежит на окружности. Найдите отрезок $OA$, если радиус окружности равен $6$ см, $\angle ABO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ΔAOB$.

По условию задачи, прямая $AO$ перпендикулярна плоскости окружности с центром в точке $O$. Точка $B$ лежит на этой окружности, следовательно, отрезок $OB$ является радиусом и лежит в плоскости окружности.

Так как прямая $AO$ перпендикулярна плоскости, в которой лежит отрезок $OB$, то прямая $AO$ перпендикулярна прямой $OB$. Это означает, что угол между ними $∠AOB$ — прямой, то есть $∠AOB = 90°$.

Следовательно, треугольник $ΔAOB$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ΔAOB$ нам известны два угла: $∠AOB = 90°$ и $∠ABO = 45°$ (по условию). Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем третий угол $∠OAB$:

$∠OAB = 180° - ∠AOB - ∠ABO = 180° - 90° - 45° = 45°$.

Поскольку два угла в треугольнике $ΔAOB$ равны ($∠ABO = ∠OAB = 45°$), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. В нашем случае это катеты $OA$ и $OB$.

$OA = OB$.

Из условия известно, что радиус окружности равен $6$ см. Отрезок $OB$ является радиусом, поэтому $OB = 6$ см.

Так как $OA = OB$, то $OA = 6$ см.

Ответ: 6 см.