Номер 63, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Преобразование фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Вариант 3. Упражнения - номер 63, страница 73.
№63 (с. 73)
Условие. №63 (с. 73)
скриншот условия


63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 83). Найдите угол между прямыми:
1) $AA_1$ и $BD$;
2) $AC$ и $CD_1$;
3) $A_1B$ и $CD_1$;
4) $AB$ и $DD_1$;
5) $AB$ и $C_1D$.
Рис. 83
Решение. №63 (с. 73)

Решение 2. №63 (с. 73)
1) $AA_1$ и $BD$
Прямые $AA_1$ и $BD$ являются скрещивающимися. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, так как фигура является кубом. Прямая $BD$ лежит в плоскости основания $ABCD$. По определению перпендикулярности прямой к плоскости, прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$, включая прямую $BD$. Следовательно, угол между прямыми $AA_1$ и $BD$ составляет $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.
2) $AC$ и $CD_1$
Прямые $AC$ и $CD_1$ пересекаются в общей точке $C$, поэтому искомый угол — это угол $\angle ACD_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle ACD_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Стороны этого треугольника являются диагоналями равных граней (квадратов) куба:
$AC$ — диагональ грани $ABCD$, ее длина $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
$CD_1$ — диагональ грани $CDD_1C_1$, ее длина $CD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
$AD_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$, ее длина $AD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Поскольку все стороны треугольника $\triangle ACD_1$ равны, он является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle ACD_1 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.
3) $A_1B$ и $CD_1$
Прямые $A_1B$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Для нахождения угла между ними выполним параллельный перенос. Рассмотрим четырехугольник $A_1BCD_1$. Ребра $BC$ и $A_1D_1$ параллельны и равны как противоположные ребра куба ($BC \parallel A_1D_1$ и $BC = A_1D_1$). По признаку параллелограмма, четырехугольник $A_1BCD_1$ является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, следовательно, $A_1B \parallel D_1C$. Прямая $D_1C$ совпадает с прямой $CD_1$. Таким образом, прямые $A_1B$ и $CD_1$ параллельны, и угол между ними равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.
4) $AB$ и $DD_1$
Прямые $AB$ и $DD_1$ являются скрещивающимися. В кубе ребро $AB$ параллельно ребру $DC$ ($AB \parallel DC$). Поэтому угол между прямыми $AB$ и $DD_1$ равен углу между параллельными им прямыми $DC$ и $DD_1$. Прямые $DC$ и $DD_1$ являются смежными ребрами грани $CDD_1C_1$, которая представляет собой квадрат. Угол между смежными сторонами квадрата равен $90^\circ$. Таким образом, искомый угол $\angle CDD_1 = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.
5) $AB$ и $C_1D$
Прямые $AB$ и $C_1D$ являются скрещивающимися. Ребро $AB$ параллельно ребру $DC$ ($AB \parallel DC$). Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми $DC$ и $C_1D$. Эти прямые пересекаются в точке $D$ и образуют угол $\angle C_1DC$. Данный угол находится в плоскости грани $CDD_1C_1$, которая является квадратом. Прямая $C_1D$ — это диагональ этого квадрата. Диагональ квадрата делит его угол пополам. Так как $\angle CDD_1 = 90^\circ$, то $\angle C_1DC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 63 расположенного на странице 73 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №63 (с. 73), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.