Номер 63, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3. Преобразование фигур в пространстве. Параллельное проектирование - номер 63, страница 73.

Условие.

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 83). Найдите угол между прямыми:

1) $AA_1$ и $BD$;

2) $AC$ и $CD_1$;

3) $A_1B$ и $CD_1$;

4) $AB$ и $DD_1$;

5) $AB$ и $C_1D$.

Рис. 83

Решение.

Решение 2.

1) $AA_1$ и $BD$
Прямые $AA_1$ и $BD$ являются скрещивающимися. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, так как фигура является кубом. Прямая $BD$ лежит в плоскости основания $ABCD$. По определению перпендикулярности прямой к плоскости, прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$, включая прямую $BD$. Следовательно, угол между прямыми $AA_1$ и $BD$ составляет $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

2) $AC$ и $CD_1$
Прямые $AC$ и $CD_1$ пересекаются в общей точке $C$, поэтому искомый угол — это угол $\angle ACD_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle ACD_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Стороны этого треугольника являются диагоналями равных граней (квадратов) куба:
$AC$ — диагональ грани $ABCD$, ее длина $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
$CD_1$ — диагональ грани $CDD_1C_1$, ее длина $CD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
$AD_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$, ее длина $AD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Поскольку все стороны треугольника $\triangle ACD_1$ равны, он является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle ACD_1 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

3) $A_1B$ и $CD_1$
Прямые $A_1B$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Для нахождения угла между ними выполним параллельный перенос. Рассмотрим четырехугольник $A_1BCD_1$. Ребра $BC$ и $A_1D_1$ параллельны и равны как противоположные ребра куба ($BC \parallel A_1D_1$ и $BC = A_1D_1$). По признаку параллелограмма, четырехугольник $A_1BCD_1$ является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, следовательно, $A_1B \parallel D_1C$. Прямая $D_1C$ совпадает с прямой $CD_1$. Таким образом, прямые $A_1B$ и $CD_1$ параллельны, и угол между ними равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.

4) $AB$ и $DD_1$
Прямые $AB$ и $DD_1$ являются скрещивающимися. В кубе ребро $AB$ параллельно ребру $DC$ ($AB \parallel DC$). Поэтому угол между прямыми $AB$ и $DD_1$ равен углу между параллельными им прямыми $DC$ и $DD_1$. Прямые $DC$ и $DD_1$ являются смежными ребрами грани $CDD_1C_1$, которая представляет собой квадрат. Угол между смежными сторонами квадрата равен $90^\circ$. Таким образом, искомый угол $\angle CDD_1 = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

5) $AB$ и $C_1D$
Прямые $AB$ и $C_1D$ являются скрещивающимися. Ребро $AB$ параллельно ребру $DC$ ($AB \parallel DC$). Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми $DC$ и $C_1D$. Эти прямые пересекаются в точке $D$ и образуют угол $\angle C_1DC$. Данный угол находится в плоскости грани $CDD_1C_1$, которая является квадратом. Прямая $C_1D$ — это диагональ этого квадрата. Диагональ квадрата делит его угол пополам. Так как $\angle CDD_1 = 90^\circ$, то $\angle C_1DC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.