Номер 60, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Постройте изображение прямоугольника $ADEC$, если $B \in DE$.

Для построения изображения прямоугольника $ADEC$, исходя из изображения $A_1B_1C_1$ равнобедренного треугольника $ABC$, необходимо проанализировать свойства исходных фигур и учесть инварианты параллельного проецирования.

Анализ и обоснование построения

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM$, проведенная к основанию, также является его высотой. Следовательно, прямая $BM$ перпендикулярна прямой $AC$ ($BM \perp AC$).
2. В прямоугольнике $ADEC$ стороны $AD$ и $EC$ перпендикулярны стороне $AC$ ($AD \perp AC$ и $EC \perp AC$). Также сторона $DE$ параллельна стороне $AC$ ($DE \parallel AC$).
3. Из того, что прямые $BM$, $AD$ и $EC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, следует, что эти три прямые параллельны между собой: $BM \parallel AD \parallel EC$.
4. По условию задачи, вершина $B$ треугольника лежит на стороне $DE$ прямоугольника ($B \in DE$).
5. При параллельном проецировании сохраняются следующие свойства:
   • Параллельность прямых сохраняется. Это значит, что изображения прямых $BM$, $AD$, $EC$ будут параллельны между собой (т.е. $B_1M_1 \parallel A_1D_1 \parallel E_1C_1$), а изображение прямой $DE$ будет параллельно изображению $AC$ (т.е. $D_1E_1 \parallel A_1C_1$).
   • Середина отрезка проецируется в середину его изображения. Поэтому, если $M$ — середина $AC$, то ее изображение $M_1$ будет серединой отрезка $A_1C_1$.
   • Принадлежность точки прямой сохраняется, поэтому изображение точки $B_1$ будет лежать на изображении прямой $D_1E_1$.

На основе этих свойств можно сформулировать четкий алгоритм построения.

Алгоритм построения

1. Найти точку $M_1$ — середину отрезка $A_1C_1$.
2. Провести отрезок $B_1M_1$. Этот отрезок является изображением медианы и высоты $BM$ треугольника $ABC$.
3. Через точку $B_1$ провести прямую $l$, параллельную прямой $A_1C_1$. На этой прямой будет лежать сторона $D_1E_1$ искомого изображения прямоугольника.
4. Через точку $A_1$ провести прямую $m$, параллельную прямой $B_1M_1$.
5. Точка пересечения прямых $l$ и $m$ является искомой вершиной $D_1$.
6. Через точку $C_1$ провести прямую $n$, параллельную прямой $B_1M_1$.
7. Точка пересечения прямых $l$ и $n$ является искомой вершиной $E_1$.
8. Последовательно соединить точки $A_1, D_1, E_1$ и $C_1$. Полученный четырехугольник $A_1D_1E_1C_1$ (являющийся параллелограммом) и есть искомое изображение прямоугольника $ADEC$.

Ответ: Искомое изображение прямоугольника — это четырехугольник $A_1D_1E_1C_1$, построенный в соответствии с приведенным алгоритмом.