Номер 53, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. На рисунке 79 изображён тетраэдр $DABC$, точка $M$ — середина ребра $AB$. Постройте образ данного тетраэдра при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $C$ является точка $D$;

2) образом точки $D$ является точка $M$.

Рис. 79

1) образом точки С является точка D;

Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки пространства смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задаётся вектором переноса.

По условию, образом точки C является точка D. Это означает, что параллельный перенос осуществляется на вектор $\vec{v} = \vec{CD}$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, необходимо найти образы всех его вершин при переносе на этот вектор. Обозначим образы вершин $A, B, C, D$ как $A_1, B_1, C_1, D_1$ соответственно.

• Образ точки $C$: по условию, точка $C$ переходит в точку $D$. Таким образом, $C_1 = D$.
• Образ точки $A$: точка $A$ переходит в точку $A_1$ так, что $\vec{AA_1} = \vec{CD}$. Это значит, что для построения точки $A_1$ нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{CD}$. Геометрически это означает построение параллелограмма $ACDA_1$.
• Образ точки $B$: точка $B$ переходит в точку $B_1$ так, что $\vec{BB_1} = \vec{CD}$. Для построения точки $B_1$ откладываем от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{CD}$. Геометрически это означает построение параллелограмма $BCDB_1$.
• Образ точки $D$: точка $D$ переходит в точку $D_1$ так, что $\vec{DD_1} = \vec{CD}$. Для построения точки $D_1$ откладываем от точки $D$ вектор, равный вектору $\vec{CD}$. При этом точки $C, D, D_1$ будут лежать на одной прямой, и точка $D$ будет являться серединой отрезка $CD_1$.

Соединив полученные точки-образы $A_1, B_1, C_1, D_1$, мы получим тетраэдр $D_1A_1B_1C_1$ (или $D_1A_1B_1D$), который и является образом исходного тетраэдра $DABC$ при заданном параллельном переносе.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $D_1A_1B_1D$, где точки $A_1, B_1, D_1$ строятся таким образом, что выполняются векторные равенства $\vec{AA_1} = \vec{CD}$, $\vec{BB_1} = \vec{CD}$ и $\vec{DD_1} = \vec{CD}$.

2) образом точки D является точка M.

В этом случае, по условию, образом точки D является точка M (середина ребра AB). Это означает, что параллельный перенос осуществляется на вектор $\vec{v} = \vec{DM}$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, необходимо найти образы всех его вершин при переносе на этот вектор. Обозначим образы вершин $A, B, C, D$ как $A_2, B_2, C_2, D_2$ соответственно.

• Образ точки $D$: по условию, точка $D$ переходит в точку $M$. Таким образом, $D_2 = M$.
• Образ точки $A$: точка $A$ переходит в точку $A_2$ так, что $\vec{AA_2} = \vec{DM}$. Для построения точки $A_2$ нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{DM}$. Геометрически это означает построение параллелограмма $ADMA_2$.
• Образ точки $B$: точка $B$ переходит в точку $B_2$ так, что $\vec{BB_2} = \vec{DM}$. Для построения точки $B_2$ откладываем от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{DM}$. Геометрически это означает построение параллелограмма $BDMB_2$.
• Образ точки $C$: точка $C$ переходит в точку $C_2$ так, что $\vec{CC_2} = \vec{DM}$. Для построения точки $C_2$ откладываем от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{DM}$. Геометрически это означает построение параллелограмма $CDMC_2$.

Соединив полученные точки-образы $A_2, B_2, C_2, D_2$, мы получим тетраэдр $D_2A_2B_2C_2$ (или $MA_2B_2C_2$), который и является образом исходного тетраэдра $DABC$ при заданном параллельном переносе.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $MA_2B_2C_2$, где точки $A_2, B_2, C_2$ строятся таким образом, что выполняются векторные равенства $\vec{AA_2} = \vec{DM}$, $\vec{BB_2} = \vec{DM}$ и $\vec{CC_2} = \vec{DM}$.