Номер 51, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, которая проходит через точки $K, E$ и $F$, принадлежащие соответственно рёбрам $AD, AA_1$ и $C_1D_1$.

Для построения сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $K \in AD$, $E \in AA_1$ и $F \in C_1D_1$, выполним следующие шаги:

1. Соединение точек в одной грани.

   Точки $K$ и $E$ лежат в одной грани $ADD_1A_1$. Соединяем их отрезком. Отрезок $KE$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью $ADD_1A_1$.

2. Построение вспомогательной точки.

   Продлим прямую $KE$, лежащую в секущей плоскости, до пересечения с прямой $D_1D$. Обе эти прямые лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$. Точку их пересечения обозначим $P$. Таким образом, $P = KE \cap D_1D$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $KE$) и плоскости грани $DCC_1D_1$ (так как лежит на прямой $D_1D$).

3. Построение следа секущей плоскости на грани $DCC_1D_1$.

   В плоскости грани $DCC_1D_1$ теперь известны две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $F$ (по условию) и точка $P$ (по построению). Проводим через них прямую $PF$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости грани $DCC_1D_1$.

   Находим точки пересечения прямой $PF$ с рёбрами грани $DCC_1D_1$. Одна точка, $F$, уже лежит на ребре $C_1D_1$. Найдём точку пересечения прямой $PF$ с ребром $CC_1$. Обозначим эту точку $G$. То есть, $G = PF \cap CC_1$. Отрезок $FG$ является стороной искомого сечения.

4. Построение следа секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$.

   Противоположные грани параллелепипеда параллельны. Грань $ABB_1A_1$ параллельна грани $DCC_1D_1$. По свойству, секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с гранью $ABB_1A_1$ будет параллельна линии её пересечения с гранью $DCC_1D_1$, то есть отрезку $FG$.

   Проведём через точку $E$ (которая лежит в грани $ABB_1A_1$) прямую, параллельную $FG$. Эта прямая пересечёт ребро $A_1B_1$ в некоторой точке $M$. Отрезок $EM$ — это ещё одна сторона сечения ($EM \parallel FG$, $M \in A_1B_1$).

5. Построение следа секущей плоскости на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

   Точки $M$ и $F$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Соединяем их отрезком $MF$, который является стороной сечения.

6. Построение следа секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.

   Аналогично шагу 4, используем параллельность граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Линия пересечения с гранью $BCC_1B_1$ будет параллельна отрезку $KE$. Проведём через точку $G$ (которая лежит в грани $BCC_1B_1$) прямую, параллельную $KE$. Эта прямая пересечёт ребро $BC$ в некоторой точке $L$. Отрезок $GL$ — сторона сечения ($GL \parallel KE$, $L \in BC$).

7. Построение следа секущей плоскости на нижней грани $ABCD$.

   Точки $L$ и $K$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их отрезком $LK$, получая последнюю сторону сечения.

8. Завершение построения.

   Последовательно соединив точки $K, E, M, F, G, L$, получаем искомое сечение — шестиугольник $KEMFGL$. Построение завершено. В качестве проверки можно убедиться, что стороны сечения на параллельных гранях $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ (отрезки $LK$ и $MF$) также параллельны, что является следствием выполненных построений.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $KEMFGL$, построенный в соответствии с описанным алгоритмом.